Аналитические методы плазовых работ

С появлением и развитием вычислительной техники стали разрабатывать и широко внедрять аналитические методы в практику проектирования формы корпуса судна и плазовых работПлазовые работы. Имеется множество методов аналитического описания линий и поверхностей теоретического чертежа, позволяющих задавать их в виде уравнений, совокупность которых представляет математическую модель формы корпуса. В САПР судов обводы корпуса генерируются на основе заданных проектных характеристик судна, таких, например, как:

• Длина между перпендикулярами;
• Высота борта на мидель-шпангоуте;
• Ширина максимальная;
• Осадка;
• Коэффициенты общей полноты и полноты мидель-шпангоута;
• Абсцисса центра величины;
• Ширина горизонтального киля;
• Радиус скулы;
• Длина цилиндрической вставки и ее границы;
• Длина носовой и кормовой частей корпуса от границ цилиндрической вставки до перпендикуляров;
• Объем и размеры бульба;
• Диаметр гребного винта;
• Характеристики кормового подзора;
• Формообразующие линии палуб и штевней и т. п.

В некоторых САПР количество подобных проектных характеристик судна превышает 80.
Чаще всего уравнения ватерлиний и шпангоутов задают в виде полиномов (сплайнов) кубических или более высоких степеней. Могут применять также уравнения полушироты вида:

у(х) = а + вх + с × е^m+nх × (к + Ɩх)

Где:

• е — основание натуральных логарифмов;
• Коэффициенты а, в, с, k, Ɩ, m и n являются функциями от осадки судна.

Математическая модель формы корпуса может быть представлена и в виде совокупности уравнений, аппроксимирующих теоретические линии, заданные таблицей ординат теоретического чертежа. Координаты точек линий теоретического чертежа и формообразующих линий корпуса (штевней и главной палубы) образуют цифровую модель формы корпуса — основу для создания аппроксимирующей математической модели.

Названные способы задания формы корпуса приняты в современных САПР. Однако ни одна из существующих систем автоматического генерирования обводов корпуса не дает их окончательно согласованными и сглаженными в особенности в оконечностях судна. Согласование и сглаживание теоретических линий корпуса выполняется в этих системах в диалоговом режиме на ПК.

Кроме того, после согласования и сглаживания линий изготавливают деревянную модель корпуса, которую буксируют в опытовом бассейне для определения сопротивления воды при различных скоростях движения судна. По результатам буксировочных испытаний форму обводов в отдельных районах корпуса корректируют.

Для замены трудоемких графических операций согласования и сглаживания обводов корпуса разработаны и внедрены в практику судостроения графоаналитические методы, позволяющие использовать вычислительную технику.

Для совместного сглаживания кривых, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях, например, ватерлиний и шпангоутов, можно пользоваться достаточно простым методом разностей таблично заданных функций. Для ватерлинии (или шпангоута) с равностоящими полуширотами y_i конечные разности (рис. 1) первого и второго порядков:

∆ у_i = y_i+1 – y_i, ∆²у_i = ∆_i+1 – ∆ _i

Если полушироты не равноотстоящие, то применяют разделенные разности первого и второго порядков

$\mathrm{\delta }{y}_{\mathit{i}}\mathit{=}\frac{{\mathit{y}}_{\mathit{i}\mathit{+}\mathit{1}}\mathit{–}{\mathit{y}}_{\mathit{i}}}{{\mathit{x}}_{\mathit{i}\mathit{+}\mathit{1}}\mathit{–}{\mathit{x}}_{\mathit{i}}}; {\mathrm{\delta }}^2{\mathrm{y}}_{\mathrm{i}}\mathit{=}\frac{{\mathrm{y}}_{\mathrm{i}\mathit{+}\mathit{1}}\mathit{–}{\mathrm{\delta y}}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}\mathit{+}\mathit{2}}\mathit{–}{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}$

Свойства разностей аналогичны свойствам производных аналитических непрерывных функций, поэтому, вычисляя и анализируя величины и знаки разностей, можно судить о гладкости кривой. Критерии гладкости состоят в том, что первые и вторые разности должны возрастать или убывать монотонно, а вторые разности не должны менять знак.

Немонотонное изменение величин вторых разностей свидетель­ствует о скрытой негладкости, т. е. о немонотонном изменении кривиз­ны кривой на разных участках, а перемена знака вторых разностей – о наличии точек перегиба, в которых вторые разности обращаются в нуль.

Процесс сглаживания на основе метода разностей состоит в вы­числении первых и вторых разностей, их анализе и при необходимости во внесении поправок в значения полуширот с повторяющимся пе­ресчетом первых и вторых разностей до достижения критериев глад­кости. При этом сглаживание ватерлиний и шпангоутов выполняется совместно.

Новые полушироты не должны отличаться от исходных более, чем на величину поправки ε_i предел изменения которой составляет от +20 до ±30 мм для того, чтобы не допустить резкого изменения формы корпуса, отраженной в теоретическом чертеже. На основе этого черте­жа при проектировании судна выполняют кораблестроительные расчеты, изменения результатов которых также не должны превышать допускаемых величин. Процесс сглаживания батоксов выполняется аналогично.

В современных системах генерирования обводов корпуса сглажи­вание выполняется в диалоговом режиме. ПК вычисляет и вычерчива­ет на дисплее кривую вторых разностей, по гладкости которой опера­тор судит о гладкости ватерлинии. Сглаживая в необходимых случаях кривую вторых разностей, оператор пересчитывает полушироты ватер­линии и выводит ее на дисплей.

Диалог продолжается до тех пор, пока ватерлинии (шпангоуты) не стали, по мнению оператора, достаточно гладкими. Внося поправки в полушироты, следует оценивать их влия­ние и на гладкость шпангоутов и батоксов, которую нужно проверять тем же способом, что и гладкость ватерлиний.

Математическая модель формы корпуса, обводы которого сглаже­ны методом разностей, может быть представлена совокупностью урав­нений типа аппроксимирующих ватерлинии и шпангоуты по участкам.

у – Ах³ + Вх² + Cx + D

Коэффи­циенты А, В, С, D для каждого участка определяются из решения сис­темы четырех уравнений. Например, для участка i, i+1 на рис. 1.

• y_i = A_i x_i³ = B_i x_i² + C_i x_i + D_i ;
• y_i = A_i x³_i+1 = B_i x²_i+1 + C_i x_i+1 + D_i ;
• y”_i = 6A_i x_i + 2B_i ;
• y’_i+1 = 6A_i x_i+1 + 2B_i .

В этих уравнениях x_i и x_i+1 — абсциссы начальной и конечной точек участка, а y_i и y_i+1 полушироты этих точек. Вторые производные y’_i и y’_i+1 определяют из решения системы уравнений (1), известной из те­ории разностей. Например, для сглаженной ватерлинии, показанной на рис. 1.

y’₀ + 4y’₁ + y’₂ = 6 δy’₁² ;

y’₁ + 4y’₂ + y’₃ = 6 δy’₂² ;

$............... \left(1\right)$

$................$

y’_n-2 + 4y’_n-1 + y’_n = 6 δy²_n-1 .

В системе (1) количество неизвестных на два больше количества уравнений, поэтому для ее решения устанавливают граничные усло­вия. Кривизна в точке 0 выхода ватерлинии на цилиндрическую встав­ку равна нулю, а в точке n равна 1/r, где r — радиус сечения форш­тевня в точке n. Следовательно, y’₀ =0, а y’_n = 1/r и количество неизвестных вторых производных становится равным количеству уравнений.

Второй подход к решению задач аппроксимации и сглаживания кри­вых теоретического чертежа основан на математическом моделировании изогнутой рейки. Для вычерчивания обводов корпуса на теоретическом чертеже или на плазе используют длинные тонкие гибкие деревянные или пластмассовые рейки. Их изгибают и прижимают грузами в точках, по которым прочерчивают кривые. Изогнутая рейка аналогична многоопорной неразрезной балке со смещенными относительно друг друга опорами (рис. 1).

Участки линии изогнутой рейки между точками-опорами описываются, как показано дальше, уравнениями кубических парабол, поэтому их использование для аппроксимации точечно задан­ных линий называют методом кубических сплайнов (от англ, spline — рейка). Методом сплайнов можно воспользоваться и для сглаживания теоретических линий корпуса, заданных таблицей ординат и теоретиче­ским чертежом.

В точках прижима рейки к плоскости стола действуют изгибающие моменты M_i силы трения и реакции опор R. Известно, что для незагруженной внешней нагрузкой балки постоянного сечения жес­ткостью EI со смещенными абсолютно жесткими опорами для i-й опоры уравнения трех моментов имеют вид:

Где:

• i = 2, 3,…, n – 1.

Для 0-ой опоры в общем виде:

Для n-й опоры в общем виде:

Если изогнутый участок ватерлинии в точке 0 плавно сопрягается с участком цилиндрической вставки, т. е. с участком, параллельным оси х, то у‘₀ = 0. В точке n производная:

у‘₀= tga_n

Где:

• a_n – угол между ка­сательной к ватерлинии в точке n и осью х.

Названные граничные ус­ловия соответствуют жесткой заделке рейки на крайних опорах. На каж­дом участке изгиба рейки прогибы ее малы по сравнению с длиной участка. Тогда, как известно, кривизна

1/R(x) ≈ y'(x)

Где:

• R(x) — ра­диус кривизны.

Изгибающие моменты М(х) = EJ у'(х). Если опериро­вать рейкой, для которой принято EJ = 1, то у’ (х) = М(х), т. е. вторая производная от упругой линии рейки в каждой ее точке равна изгиба­ющему моменту или кривизне линии в этих точках. При отсутствии в пролетах балки внешней нагрузки изгибающие моменты вдоль про­летов изменяются линейно. Силами трения между рейкой и столом в пределах между опорными точками пренебрегаем, после чего для сече­ния х на участке i – 1, г (см. рис. 1) можно записать:

Дважды интегрируя (3) с учетом граничных условий у(x_i–1) = у_i–1; у(x_i) = у_i, получаем уравнение изгиба рейки на участке i-1, i, т. е. куби­ческий сплайн:

Таких уравнений будет столько, сколько участков. Входящие в них опор­ные моменты определяют решением системы уравнений трех моментов с учетом граничных условий на крайних опорах. Однако, прежде чем полу­чить окончательные уравнения (4), необходимо проверить и обеспечить гладкость линий, для чего должны быть соблюдены критерии гладкости, которые аналогичны критериям для разностей таблично заданных кри­вых.

Если имеются S-образные ватерлинии и шпангоуты, то они должны разделяться заданной точкой перегиба и их выпуклая и вогнутая части должны рассматриваться отдельно. Под монотонным возрастанием у‘(х) понимают, например для ватерлинии на рис. 1, соблюдение условия на основе чего можно считать, что и величины у‘(х) изменяются монотонно.

у‘_n > у‘_n-1 > у‘_n-2 > … > у‘_i+1 > у‘_i > у‘_i-1 > … > у‘₁ > у‘₂ > у‘₁          (5)

Сглаживание ватерлинии состоит в следующем. По начальным зна­чениям полуширот y_i взятым из таблицы ординат, и заданным гранич­ным условиям y₀ = 0 и y’_n = tga_n решают системы уравнений (2) — (4) и в первом приближении определяют все М_i = y’_i. Затем y’_i – анализи­руют по их знакам и выполнению условия (5).

Если некоторые y’ имеют знаки, обратные остальным y’, и не выполняется условие (5), вносят поправки в величины y’, т. е. их приводят к условию (5) и одинаковым знакам, что равносильно сглаживанию эпюры моментов М_i, ограниченной осью х и возрастающей ломаной линией, состоящей из прямых отрезков между опорными точками кривой.

Принимая сгла­женные значения y’_i – и оставшиеся неизменными значения остальных y’_i, вычисляют новые величины полуширот y_i, путем решения относи­тельно них системы уравнений (2) — (2, б). При этом y₀ и y’_n принимают равными исходным значениям. Входящие в систему (2) — (2, б) моменты М_i, в этом случае известны. Неизвестными являются полушироты y_i. Новые значения y_i сравнивают с исходными. Их раз­ность не должна превышать отмеченной ранее поправки ±ε_i.

Сглаживание шпангоутов и батоксов выполняют аналогично. При этом оценивают взаимное влияние вносимых поправок на глад­кость всех кривых. Сглаживание кривых по рейке, как и при использо­вании разностей, выполняется в диалоговом режиме между операто­ром и ПК.

Участок ватерлинии, идентичный картинке на экране дисплея ПК, показан на рис. 2. Участок состоит из 4 частей, разделенных на 10 ин­тервалов каждая. В точках разбиения восстановлены перпендикуляры, равные величинам у'(х), отображающим кривизну ватерлинии. Для вы­вода на экран задаются их масштабом. Из рис. 2, а видно, что величи­ны у'(х) на 3-м участке убывают, а затем вновь возрастают. В точке (i) у'(х) = 0, а затем величины у'(х) становятся отрицательными.

Следова­тельно, на 3-м участке кривая имеет скрытую негладкость, а в точке i — точку перегиба. Оператор, меняя кривизну ватерлинии, добивается ее гладкости, т. е. монотонного возрастания перпендикуляров по всей ватерлинии (рис. 2, б), что легко наблюдается визуально. После сгла­живания ватерлинии определяют окончательные значения М_i, и составляют уравнения (4) для каждого участка ватерлинии.

Подставляя в эти уравнения абсциссу конструктивных шпангоутов х, вычисляют их полушироты. Аналогично формируются уравнения шпангоутов и батоксов, которые в совокупности с уравнениями ватерлиний представляют математическую модель корпуса в аппроксимированном виде.

Для вычерчивания теоретического чертежа чертежной машиной кубические сплайны аппроксимируют дугами окружностей, как пока­зано на рис. 3. Для этого на каждом участке через точки А и В прово­дят дуги двух окружностей, сопрягающиеся в точке К. Координаты (x_А, y_А), (x_В, y_В) и угловые коэффициенты касательных у'(x_А) и у'(x_В) известны из сплайна.

Задача решается на ПК итерационно с оценкой качества аппроксимации. Качество проверяют путем сравнения за­штрихованной площади S с суммарной площадью двух круговых колец шириной δ и радиусами R_А и R_B, найденными в процессе решения задачи:

S < (αR_А + βR_B)δ

Где:

• δ -максимально допустимое отклонение дуг окружностей от сплайна;
• α и β — центральные углы.

Радиусы:

$R_A\approx \frac{1}{y_A^{‘}\left(x_A\right)} \mathrm{и} R_B\approx \frac{1}{y_B^{‘}\left(x_B\right)}$

Где:

• y’_А(x_А) и y’_В(x_В) – вторые производные от сплайна в точках А и В.

Движение рабочего органа деталей корпуса осуществляется системой ЧПУ по хордам. Максималь­ная длина хорды зависит от допуска ƒ на аппроксимацию дуг окружностей хордами. Для обеспечения плавности линий, т. е. пренебрежимо малой величины «огранки» принимают ƒ= 0,3 мм.

Из треугольника O₁ AD, пренебрегая весьма малой величиной ƒ²_А = 0,09 мм², можно по­лучить:

${Ɩ}_A\approx 2\sqrt{2R_A{ƒ}_A}$

Или, подставляя ƒ_А = 0,03 мм, получить:

${Ɩ}_A\approx 2\sqrt{0,6R_A}$

Аналогично:

${Ɩ}_B=2\sqrt{0,6R_B}$

Из того же треугольника центральный угол:

$\alpha =2\mathrm{arctg}\frac{{Ɩ}_{A/2}}{\sqrt{R_A^2–\left({\displaystyle \frac{{Ɩ}_A}{2}}\right)}}$

Аналогично:

$\beta =2\mathrm{arctg}\frac{{Ɩ}_{B/2}}{\sqrt{R_B^2–\left({\displaystyle \frac{{Ɩ}_B}{2}}\right)}}$

Получив математическую модель корпуса судна, переходят к реше­нию тех же задач, что и после плазовой разбивки. Выполняют решения на чертежных машинах, используя ПК и математические методы.

При определении формы и размеров деталей корпуса требуется пред­варительная трассировка пазов наружной обшивки и теоретических ли­ний продольного набора. Трассировка пазов заключается в расчете координат точек пересечения пазов на проекции «корпус» с линиями шпангоутов и стыков. Пазы на про­екции «корпус», как показано на рис. 4, по участкам или по все­му корпусу принимают за прямые линии или в виде слабоизогнутых кривых линий.

Поскольку каждый участок шпангоута между ватерли­ниями аппроксимирован своим уравнением, их суммарное количе­ство по всем шпангоутам весьма ве­лико, что усложняет задачу трасси­ровки пазов. Для упрощения целесообразно каждый шпангоут разделить на несколько участков и каждый участок аппроксимировать кубическим полиномом вида:

z_шп = Ay³ + By² + Ay + D

Неизвестные коэффициенты А, В, С, D можно вычислить, решив ему четырех уравнений, для чего должны быть использованы изтные координаты четырех точек участка шпангоута.

Для прямолинейных пазов на проекции «корпус» принимают урав­нения прямой:

z_п = ky + b

Где:

$k=\frac{z_e–z_d}{y_e–y_d}; b=z_d–k{y}_d$

Координаты точек e и d должны быть известны. Если паз криволиней­ный, то его задают в виде квадратичного или кубического полинома:

z_п = Ay² + By + C

Или:

z_п = Ay³ + By² + Су + D

Входящие в полиномы неизвестные коэффициенты A, B, C и D мож­но вычислить, решив системы трех или четырех уравнений при извес­тных координатах трех или четырех точек проекции паза, например, Точек a, b, с, i.

Решая систему уравнений z_п = z_шп для каждого шпангоута, можно определить координаты у_п точек пересечения паза со шпангоутами, а подставив эти координаты в уравнение паза, определить ординаты z_п. Точки пазов могут задаваться и криволинейными координатами, т. е. длинами дуг шпангоутов или стыков, в частности, длинами s_a, s_d и т. д. в виде цепочки размеров от ДП судна. В этом случае координаты у указанных точек определяют как верхний предел у_в интеграла, по которому вычисляется длина дуги:

$s={\int }_{y_h}^{y_b}\sqrt{1+z_{ШП}^{‘2}dy} \left(6\right)$

Где:

• z’_шп — первая производная уравнения, которым аппроксимирован шпангоут.

Расчет размеров плоских деталей рассмотрим на примере днищево­го стрингера, показанного на рис. 5, плоскость которого перпенди­кулярна ОП и наклонена к ДП и ПМШ.

Все шпангоуты аппроксими­рованы уравнениями так же, как и теоретическая линия стрингера — линия пересечения его плоскости с внутренней поверхностью наруж­ной обшивки. Совместное решение уравнений позволяет определить координаты у и z точек а, с, d, е, b. Вычтя координаты z этих точек из высоты второго дна z_д, можно найти величину отрезков h_i = z_д–z. Рас­тянутая шпация:

$РШ=\sqrt{∆y^2+{\mathrm{Ш}}^2}$

Где:

• $∆y=\frac{y_b–y_a}{4}$

Зная h_i и РШ, можно построить контур стрингера и проставить его размеры. Здесь у_а и у_b — полушироты точек а и b.

Рассмотрим случай, когда деталь, показанная на рис. 6, наклоне­на ко всем трем основным плоскостям корпуса судна. Координаты то­чек а, с, d, е, b находят как и в предыдущем случае. Линии пересечения стрингера плоскостями шпангоутов параллельны друг другу. Необхо­димо вычислить sinα по формуле:

$\sin \alpha =\frac{y_0–y_{0‘}}{\sqrt{(y_a–y_{a‘}{)}^2+(z_{д}–z_a{)}^2}}$

Тогда:

По этим данным, как видно из рис. 6, б можно однозначно задать контур и размеры стрингера.

Ранее был рассмотрен графический способ развертывания деталей дво­якой кривизны методом геодезических линий. Такие детали аналитичес­ки можно разворачивать методом наименьших площадей. Применяя ме­тод наименьших площадей, как показано на рис. 7, поверхность детали аппроксимируют многогранной поверхностью. Ребрами поверхности яв­ляются отрезки, соединяющие точки разбиения шпангоутов, а гранями — треугольники. Фактически применяют метод триангуляции поверхности.

Все шпангоуты аппроксимируют кубическими полиномами с коэффи­циентами A_i, B_i, С_i, D_i, определяемыми при решении систем уравнений:

Ay³₁ + By²₁ + Су₁ + D = z₁ ;

Ay³_n + By²_n + Су_n + D = z_n ;

6Ax₁ + 2B = z’₁ ;

6Ax_n + 2B = z’_{n .}

Где:

• у₁, z₁, …, у_i, z_i,…. y_n, z_n — координаты пазовых точек в системе осей корпуса судна 0zyx;
• z₁, z_n — величины вторых производных в пазовых точках, получаемые при решении задачи трассировки пазов.

Длину Ɩ_i каждого шпангоута между верхним и нижним пазами вы­числяют по формуле (6). Ею же пользуются для вычисления длины средних линий шпангоутных полос, равных полусумме длин образую­щих их дуг шпангоутов.

Из всех полос выбирается полоса с максималь­ной длиной средней линии и разделяется на N частей, состоящих из двух треугольников каждая. Обычно принимается N = 10 (на рис. 7 для упрощения взято N = 5). Для определения координат у точек раз­биения шпангоутов указанной полосы, равных верхнему пределу ин­теграла (6), при длинах дуг s_i = Ɩ_i / 10; 2Ɩ_i / 10; …; 9Ɩ_i / 10 используют также формулу (6).

Зная у, можно вычислить координаты z тех же точек. Координаты х точек разбиения каждого шпангоута определены в системе осей координат 0zyx с началом в плоскости z0y, как расстоя­ния, кратные шпации. Имея значения координат вершин треугольников, вычисляют их площади. Например, площадь треугольни­ка ifk (рис. 7, б)

Тогда первое значение суммарной площади полосы:

$S_1=\sum _{n=1}^{n=2N}{s}_n$

Затем полосу разбивают на N + 1 частей и аналогичным образом вы­числяются координаты точек разбиения, площади треугольников и вто­рое значение суммарной площади полосы — S₂. Если S₂ – S₁ меньше принятой из практики величины точности аппроксимации поверхно­сти детали δ, то количество участков разделения всех полос оконча­тельно считается равным N. В противном случае процесс разбиения на большее количество участков продолжается до удовлетворения принятой величины точности аппроксимации.

Величина точности счита­ется достаточной при выполнении условия δ ≤ (0,0001 – 0,001). После окончания итерационного процесса и определения количества участ­ков разделения полос вычисляют длины ребер треугольников. Напри­мер, ребра d₁, d₂, d₃ треугольника 1, 2, 3 (рис. 7, а):

Процесс собственно развертывания многогранной поверхности на­чинают с развертывания на плоскость отдельных ее полос. Выполне­ние развертки каждой полосы заключается в последовательной сты­ковке смежных треугольников, составляющих полосу в плоской системе осей координат y0z (рис. 7, б). Для этого вычисляют координаты вер­шин треугольников в собственной, связанной с первым треугольником, плоской системе координат η0С, которая выбирается так, чтобы нача­ло ее координат совпадало с вершиной 1, а ось η0 совпадала со сторо­ной 1 – 2 первого треугольника.

Таким образом, собственная система осей координат η0С первой полосы совпадаете общей системой коорди­нат y0z. Из принятого способа выбора собственной системы координат первой полосы следует, что координаты точек 1 и 2 С₁= Z₁ = С₂ = Z₂ = 0, а координата точки 2 η₂ = y₂ = d₁. Координаты точки 3 вычисляются из очевидной системы уравнений:

y²₃ + z²₃ = d²₃ и (y₃ – y₂)² + z²₃ = d²₃

Далее производят стыковку второго треугольника с первым, т. е. вычисляют координаты вершины 4 в системе координат y0z, третьего треугольника со вторым и т. д. Координаты точки 4 вычисляют из сис­темы уравнений:

y²₄ + z²₄ = d²₄ и (y₃ – y₄)² + (z₄ – z₃)² = d²₇

В общем виде координаты точки j вычисляют из системы уравнений:

(y_j – y_i)² + (z_j – z_i)² = d²_i и (y_j – y₄)² + (z_j – z₄)² = d²₇

И т. д. до вычисления координат всех вершин треугольников первой по­лосы в общей системе координат y0z.

Аналогично вычисляют координаты вершин треугольников каждой из полос в ее собственной системе координат. В результате полного пе­ребора всех составляющих треугольников первой полосы получают ее развертку на плоскости y0z. Затем первая полоса «обкатывается» вто­рой полосой (рис. 7, б) и вычисляют заштрихованные площади «рас­стыковки». Окончательным из всех возможных будет то положение второй полосы, при котором площадь «расстыковки» окажется наименьшей.

Площади «расстыковки» также разделяют на треугольники, после чего вычисляют сумму их площадей. Для определения площа­дей координаты вершин треугольников второй «перекатываемой» по­лосы пересчитывают для каждого ее положения из собственной систе­мы координат η0С с началом отсчета в точке 2 в общую систему координат y0z «обкатываемой» полосы по формулам преобразования координат. Например, для точки i:

y_i = y₀ + η_i cosα – С_i  sinα ;

z_i = z₀ + η_i sinα – С_i  cosα .

Откуда:

y₀ = y_i + η_i cosα + С_i  sinα ;          (7)

z₀ = z_i + η_i sinα – С_i  cosα .          (8)

В выражениях (7) и (8) y₀, z₀ и угол α неизвестны. Для их опре­деления вычисляют тригонометрические функции угла α = γ – β, где, как следует из схемы наклона осей на рис. 7, б, γ и β — углы наклона ребра i-j к осям 0η и 0y. Тогда:

sinα = cosα(γ – β) = sinγ cosβ – sinβ cosγ          (9)

cosα = sinα(γ – β) = sinγ cosβ – sinγ cosβ          (10)

Подставляя (11 и 12) в (9 и 10), получаем:

Где:

• y = y_j – y_i ;
• z = z_j – z_i ;
• η = η_j – η_i ;
• C = C_j – C_i .

Значения у₀ и z₀ определяют после подстановки (13) в (7) и (8). Далее по формулам преобразования координат вычисляют коорди­наты вершин треугольников второй полосы в общей системе коорди­нат y0z для всех положений этой полосы относительно первой. Например, для точки «к» координаты y_k и z_k получают решением систем уравнений:

(y_k – y₀)² + (z_k – z₀)² = d²₁₀ ;

(y_k – y_i)² + (z_k – z_i)² = d²₁₂ .

Площади заштрихованных треугольников вычисляют по формулам, аналогичным формуле для s_ifk. Корректировку контура развертки для учета пластических деформаций гибки осуществляют последовательными приближениями. Как следует из рис. 7, в, сдвигая вторую полосу влево на некоторую величину ∆y_i, пересчитывают координаты у точек контура вто­рой полосы и определяют площади заштрихованных участков acd, bef и ab, а также отношение суммы площадей acd и bef к площади ab.

По дан­ным практики для парусовидной детали оно должно составлять 1:3. Если это условие не соблюдено, то полоса вновь сдвигается на величину ∆y_i — шаг итерации — и приближения повторяют, пока указанное соотношение будет выполнено. После корректировки вычисляют окончательные коор­динаты пазовых вершин треугольников, но которым контур развертки рассчитывается и появляется на дисплее ПК.

Математическую модель раскроя профильного проката создают на основе выполнения двух условий:

Где:

• Z_j — целевая функция, представляющая суммарную длину заготовок;
• $x_{ij}=\left\{\begin{array}{l}1, \mathrm{если} \mathrm{i}–\mathrm{ая} \mathrm{деталь} \mathrm{раскаивается} \mathrm{из} j–\mathrm{й} \mathrm{заготовки}\\ 0 – \mathrm{в} \mathrm{противно} \mathrm{слуае};\end{array}\right)$
• Ɩ_j — длина i-й детали;
• L_j — длина j-й заготовки;
• n — количество дета­лей.

Задачу решают последовательно для каждой заготовки, что позво­ляет учесть несколько вариантов длины заготовок. Условие L_j ≥ L_j+1 приводит к рациональному построению алгоритмов раскроя и умень­шает вероятность случая, когда для какой-либо детали не находится заготовки соответствующей длины, поскольку весь металл уже исполь­зован для раскроя более коротких деталей.

Раскрой листового проката осуществляют перебором вариантов рас­положения деталей на картах раскроя, т. е. математически моделиру­ют на ПК ручной (графический) раскрой. Перед составлением карт рас­кроя контуры деталей предварительно упрощают: криволинейные контуры деталей заменяют ломаными линиями, мелкие вырезы исклю­чают, крупные внутренние вырезы заменяют вписанными многоуголь­никами.

ПК размещает первую крупную деталь в прямоугольнике оконтурованного заказного листа с пересчетом собственных координат детали в систему координат листа. Затем методом последовательных перемещений и поворотов с ней стыкуется вторая деталь до тех пор, пока критерий размещения не окажется удовлетворительным. После этого две детали объединяются в общий контур, к ним присоединяется третья деталь и т. д.

Небольшие группы деталей плотно укладывают в прямоугольники — фрагменты карт раскроя — с последующим раз­мещением полученных фрагментов в пределах заданных заказных ли­стов. Можно составить несколько вариантов планов раскроя.

Сформированные и принятые технологами карты раскроя для ви­зуального наблюдения вычерчиваются графопостроителем. При не­удовлетворительном коэффициенте использования металла (менее 0,82—0,86) деловые отходы и свободные области на картах раскроя за­полняют вручную или эти карты расформировывают, а детали собира­ют для размещения в следующей группе совместного раскроя.

Получение геометрических данных о форме лекал постелей для сбор­ки секций зависит от расположения плоскости основания постели.

В случаях, когда плоскость основания постели (например, для сбор­ки бортовой или днищевой секции) параллельна диаметральной или основной плоскостям, форму лекал или высоты стоек постели опреде­ляют в системе главных координат судна. Когда криволинейные бор­товые секции имеют значительную кривизну, плоскость основания по­стели наклоняют для уменьшения высоты лекал или стоек и удобного, близкого к горизонтальному, расположения секций в постели. Стенд, на котором устанавливают съемные лекала, имеет тогда высоту 0,7—0,8 м. Стоечная постель имеет ту же высоту.

На рис. 8 показана дважды усеченная постель, базовая плоскость которой наклонена к ПМШ ик ДП. Ее лекала лежат в плоскостях шпан­гоутов под углом φ к базовой плоскости. Положение базовой плоско­сти задается полуширотами y_i трех точек, например, точек 1′, 2′ и 3′, отстоящих от точек 1, 2 и 3 шпангоутов на ∆y₁, ∆y₂ и ∆y₃, выбранных так, чтобы наименьшая высота лекал была более 200 мм. Высоты точек лекал определяют по формуле:

h_i = d_i/ sinφ

Где:

• d_i — отстояние точки i от базовой плоскости по перпендикуляру к ней.

Отстояние точек наружной обшивки от базовой плоскости:

Где:

• p — длина перпендикуляра, опушенного из начала координат на базовую плоскость;
• x_iТ y_iТ z_iТ — теоретические (плазовые) координаты точки i в системе основных координат судна;
• α, γ, β — углы между ося­ми координат и перпендикуляром р.

Координаты x_iТ y_iТ z_iТ следует принимать для точек конструктив­ных шпангоутов на пересечениях с ватерлиниями.

Для определения трех неизвестных косинусов и длины перпендикуляра нужно составить и решить систему, состоящую из четырех уравнений, используя фор­мулу для d_i, учитывая, что d_i точек 1′, 2′ и 3′ равны нулю, так как эти точки находятся в базовой плоскости, а их полушироты

у’ = y_iТ + ∆y_i

Где:

• i = 1,2,3.

В качестве четвертого уравнения используется равенство:

cos²α +cos²β -kos²γ = 1

Угол φ между базовой плоскостью постели и плоскостями шпанго­утов равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям (перпен­дикуляром р и осью 0x), т. е. φ = α. Определив косинусы угла и величи­ну р, можно вычислить d_i и h_i для всех точек i лекал постели.

Для проверки формы бортовой секции, занимающей согласно рис. 9 произвольное положение на опорах в цехе, нужно вычислить отклонения ∆y_i фактических полуширот точек наружной поверхности обшивки y_iф от их теоретических (плазовых) значений y_iT по формуле:

Где:

• d_i — отстояние по вертикали проверяемой i-й точки от базовой го­ризонтальной плоскости, проходящей через наиболее высокую точку секции в плоскости крайнего шпангоута (величину d_i замеряют при помощи теодолита или шлангового уровня).

Косинусы углов α, γ и β между базовой горизонтальной плоскостью и основными плоскостями проекций судна, т. е. между перпендикуля­ром р и основными осями координат, можно определить, решив совме­стно систему, состоящую из трех уравнений, составленных по (14) для точек 0 (d₀=0), 1 и 2 (величины d₁ и d₂ замеряют на секции), и ра­венства для суммы квадратов косинусов углов.