Аналитические методы плазовых работ

С появлением и развитием вычислительной техники стали разрабатывать и широко внедрять аналитические методы в практику проектирования формы корпуса судна и плазовых работ. Имеется множество методов аналитического описания линий и поверхностей теоретического чертежа, позволяющих задавать их в виде уравнений, совокупность которых представляет математическую модель формы корпуса. В САПР судов обводы корпуса генерируются на основе заданных проектных характеристик судна, таких, например, как:

  • Длина между перпендикулярами;
  • Высота борта на мидель-шпангоуте;
  • Ширина максимальная;
  • Осадка;
  • Коэффициенты общей полноты и полноты мидель-шпангоута;
  • Абсцисса центра величины;
  • Ширина горизонтального киля;
  • Радиус скулы;
  • Длина цилиндрической вставки и ее границы;
  • Длина носовой и кормовой частей корпуса от границ цилиндрической вставки до перпендикуляров;
  • Объем и размеры бульба;
  • Диаметр гребного винта;
  • Характеристики кормового подзора;
  • Формообразующие линии палуб и штевней и т. п.

В некоторых САПР количество подобных проектных характеристик судна превышает 80.
Чаще всего уравнения ватерлиний и шпангоутов задают в виде полиномов (сплайнов) кубических или более высоких степеней. Могут применять также уравнения полушироты вида:

у(х) = а + вх + с × еm+nх × (к + Ɩх)

Где:

  • е — основание натуральных логарифмов;
  • Коэффициенты а, в, с, k, Ɩ, m и n являются функциями от осадки судна.

Математическая модель формы корпуса может быть представлена и в виде совокупности уравнений, аппроксимирующих теоретические линии, заданные таблицей ординат теоретического чертежа. Координаты точек линий теоретического чертежа и формообразующих линий корпуса (штевней и главной палубы) образуют цифровую модель формы корпуса — основу для создания аппроксимирующей математической модели.

Названные способы задания формы корпуса приняты в современных САПР. Однако ни одна из существующих систем автоматического генерирования обводов корпуса не дает их окончательно согласованными и сглаженными в особенности в оконечностях судна. Согласование и сглаживание теоретических линий корпуса выполняется в этих системах в диалоговом режиме на ПК.

Кроме того, после согласования и сглаживания линий изготавливают деревянную модель корпуса, которую буксируют в опытовом бассейне для определения сопротивления воды при различных скоростях движения судна. По результатам буксировочных испытаний форму обводов в отдельных районах корпуса корректируют.

Для замены трудоемких графических операций согласования и сглаживания обводов корпуса разработаны и внедрены в практику судостроения графоаналитические методы, позволяющие использовать вычислительную технику.

Для совместного сглаживания кривых, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях, например, ватерлиний и шпангоутов, можно пользоваться достаточно простым методом разностей таблично заданных функций. Для ватерлинии (или шпангоута) с равностоящими полуширотами yi конечные разности (рис. 1) первого и второго порядков:

уi = yi+1yi, ∆2уi = ∆ i+1 — ∆ i

Если полушироты не равноотстоящие, то применяют разделенные разности первого и второго порядков

δyi=yi+1yixi+1xi; δ2yi=yi+1δyixi+2xi

Свойства разностей аналогичны свойствам производных аналитических непрерывных функций, поэтому, вычисляя и анализируя величины и знаки разностей, можно судить о гладкости кривой. Критерии гладкости состоят в том, что первые и вторые разности должны возрастать или убывать монотонно, а вторые разности не должны менять знак.

Носовая ветвь ватерлинии
Рис. 1 Носовая ветвь ватерлинии

Немонотонное изменение величин вторых разностей свидетель­ствует о скрытой негладкости, т. е. о немонотонном изменении кривиз­ны кривой на разных участках, а перемена знака вторых разностей — о наличии точек перегиба, в которых вторые разности обращаются в нуль.

Процесс сглаживания на основе метода разностей состоит в вы­числении первых и вторых разностей, их анализе и при необходимости во внесении поправок в значения полуширот с повторяющимся пе­ресчетом первых и вторых разностей до достижения критериев глад­кости. При этом сглаживание ватерлиний и шпангоутов выполняется совместно.

Новые полушироты не должны отличаться от исходных более, чем на величину поправки εi предел изменения которой составляет от +20 до ±30 мм для того, чтобы не допустить резкого изменения формы корпуса, отраженной в теоретическом чертеже. На основе этого черте­жа при проектировании судна выполняют кораблестроительные расчеты, изменения результатов которых также не должны превышать допускаемых величин. Процесс сглаживания батоксов выполняется аналогично.

В современных системах генерирования обводов корпуса сглажи­вание выполняется в диалоговом режиме. ПК вычисляет и вычерчива­ет на дисплее кривую вторых разностей, по гладкости которой опера­тор судит о гладкости ватерлинии. Сглаживая в необходимых случаях кривую вторых разностей, оператор пересчитывает полушироты ватер­линии и выводит ее на дисплей.

Диалог продолжается до тех пор, пока ватерлинии (шпангоуты) не стали, по мнению оператора, достаточно гладкими. Внося поправки в полушироты, следует оценивать их влия­ние и на гладкость шпангоутов и батоксов, которую нужно проверять тем же способом, что и гладкость ватерлиний.

Математическая модель формы корпуса, обводы которого сглаже­ны методом разностей, может быть представлена совокупностью урав­нений типа аппроксимирующих ватерлинии и шпангоуты по участкам.

у — Ах3 + Вх2 + Cx + D

Коэффи­циенты А, В, С, D для каждого участка определяются из решения сис­темы четырех уравнений. Например, для участка i, i+1 на рис. 1.

  • yi = Ai xi3 = Bi xi2 + Ci xi + Di ;
  • yi = Ai x3i+1 = Bi x2i+1 + Ci xi+1 + Di ;
  • i = 6Ai xi + 2Bi ;
  • y’i+1 = 6Ai xi+1 + 2Bi .

В этих уравнениях xi и xi+1 — абсциссы начальной и конечной точек участка, а yi и yi+1 полушироты этих точек. Вторые производные y’i и y’i+1 определяют из решения системы уравнений (1), известной из те­ории разностей. Например, для сглаженной ватерлинии, показанной на рис. 1.

y’0 + 4y’1 + y’2 = 6 δy’12 ;

y’1 + 4y’2 + y’3 = 6 δy’22 ;

...............        (1)

................        

y’n-2 + 4y’n-1 + y’n = 6 δy2n-1 .

В системе (1) количество неизвестных на два больше количества уравнений, поэтому для ее решения устанавливают граничные усло­вия. Кривизна в точке 0 выхода ватерлинии на цилиндрическую встав­ку равна нулю, а в точке n равна 1/r, где r — радиус сечения форш­тевня в точке n. Следовательно, y’0 =0, а y’n = 1/r и количество неизвестных вторых производных становится равным количеству уравнений.

Второй подход к решению задач аппроксимации и сглаживания кри­вых теоретического чертежа основан на математическом моделировании изогнутой рейки. Для вычерчивания обводов корпуса на теоретическом чертеже или на плазе используют длинные тонкие гибкие деревянные или пластмассовые рейки. Их изгибают и прижимают грузами в точках, по которым прочерчивают кривые. Изогнутая рейка аналогична многоопорной неразрезной балке со смещенными относительно друг друга опорами (рис. 1).

Участки линии изогнутой рейки между точками-опорами описываются, как показано дальше, уравнениями кубических парабол, поэтому их использование для аппроксимации точечно задан­ных линий называют методом кубических сплайнов (от англ, spline — рейка). Методом сплайнов можно воспользоваться и для сглаживания теоретических линий корпуса, заданных таблицей ординат и теоретиче­ским чертежом.

В точках прижима рейки к плоскости стола действуют изгибающие моменты Mi силы трения и реакции опор R. Известно, что для незагруженной внешней нагрузкой балки постоянного сечения жес­ткостью EI со смещенными абсолютно жесткими опорами для i-й опоры уравнения трех моментов имеют вид:

Mi1Ɩi+2Mi(Ɩi+Ɩi+1)+Mi+1Ɩi+1=6EI(yi1yiƖiyiyi+1Ɩi+1)        (2)

Где:

  • i = 2, 3,…, n — 1.

Для 0-ой опоры в общем виде:

(2M0+M1)Ɩ1=6EI(y1y01y0)               (2а)

Для n-й опоры в общем виде:

(Mn1+2Mn)Ɩn=6EI(ynynyn1Ɩn)               (2б)

Если изогнутый участок ватерлинии в точке 0 плавно сопрягается с участком цилиндрической вставки, т. е. с участком, параллельным оси х, то у0 = 0. В точке n производная:

у0= tgan

Где:

  • an — угол между ка­сательной к ватерлинии в точке n и осью х.

Названные граничные ус­ловия соответствуют жесткой заделке рейки на крайних опорах. На каж­дом участке изгиба рейки прогибы ее малы по сравнению с длиной участка. Тогда, как известно, кривизна

1/R(x) ≈ y'(x)

Где:

  • R(x) — ра­диус кривизны.

Изгибающие моменты М(х) = EJ у'(х). Если опериро­вать рейкой, для которой принято EJ = 1, то у’ (х) = М(х), т. е. вторая производная от упругой линии рейки в каждой ее точке равна изгиба­ющему моменту или кривизне линии в этих точках. При отсутствии в пролетах балки внешней нагрузки изгибающие моменты вдоль про­летов изменяются линейно. Силами трения между рейкой и столом в пределах между опорными точками пренебрегаем, после чего для сече­ния х на участке i — 1, г (см. рис. 1) можно записать:

y(x)=M(x)=Mi1xixƖi+Mixxi1Ɩi               (3)

Дважды интегрируя (3) с учетом граничных условий у(xi1) = уi1; у(xi) = уi, получаем уравнение изгиба рейки на участке i-1, i, т. е. куби­ческий сплайн:

y(x)=Mi1(xix)36Ɩi+Mi(xxi1)36Ɩi+(yi1Mi1Ɩi26)xixƖi+(yiMiƖi26)xxi1Ɩi   (4)

Таких уравнений будет столько, сколько участков. Входящие в них опор­ные моменты определяют решением системы уравнений трех моментов с учетом граничных условий на крайних опорах. Однако, прежде чем полу­чить окончательные уравнения (4), необходимо проверить и обеспечить гладкость линий, для чего должны быть соблюдены критерии гладкости, которые аналогичны критериям для разностей таблично заданных кри­вых.

Если имеются S-образные ватерлинии и шпангоуты, то они должны разделяться заданной точкой перегиба и их выпуклая и вогнутая части должны рассматриваться отдельно. Под монотонным возрастанием у‘(х) понимают, например для ватерлинии на рис. 1, соблюдение условия на основе чего можно считать, что и величины у‘(х) изменяются монотонно.

уn > уn-1 > уn-2 > … > уi+1 > уi > уi-1 > … > у1 > у2 > у1          (5)

Сглаживание ватерлинии состоит в следующем. По начальным зна­чениям полуширот yi взятым из таблицы ординат, и заданным гранич­ным условиям y0 = 0 и y’n = tgan решают системы уравнений (2) — (4) и в первом приближении определяют все Мi = y’i. Затем y’i — анализи­руют по их знакам и выполнению условия (5).

Если некоторые y’ имеют знаки, обратные остальным y’, и не выполняется условие (5), вносят поправки в величины y’, т. е. их приводят к условию (5) и одинаковым знакам, что равносильно сглаживанию эпюры моментов Мi, ограниченной осью х и возрастающей ломаной линией, состоящей из прямых отрезков между опорными точками кривой.

Принимая сгла­женные значения y’i — и оставшиеся неизменными значения остальных y’i, вычисляют новые величины полуширот yi, путем решения относи­тельно них системы уравнений (2) — (2, б). При этом y0 и y’n принимают равными исходным значениям. Входящие в систему (2) — (2, б) моменты Мi, в этом случае известны. Неизвестными являются полушироты yi. Новые значения yi сравнивают с исходными. Их раз­ность не должна превышать отмеченной ранее поправки ±εi.

Сглаживание шпангоутов и батоксов выполняют аналогично. При этом оценивают взаимное влияние вносимых поправок на глад­кость всех кривых. Сглаживание кривых по рейке, как и при использо­вании разностей, выполняется в диалоговом режиме между операто­ром и ПК.

Участок ватерлинии, идентичный картинке на экране дисплея ПК, показан на рис. 2. Участок состоит из 4 частей, разделенных на 10 ин­тервалов каждая. В точках разбиения восстановлены перпендикуляры, равные величинам у'(х), отображающим кривизну ватерлинии. Для вы­вода на экран задаются их масштабом. Из рис. 2, а видно, что величи­ны у'(х) на 3-м участке убывают, а затем вновь возрастают. В точке (i) у'(х) = 0, а затем величины у'(х) становятся отрицательными.

Следова­тельно, на 3-м участке кривая имеет скрытую негладкость, а в точке i — точку перегиба. Оператор, меняя кривизну ватерлинии, добивается ее гладкости, т. е. монотонного возрастания перпендикуляров по всей ватерлинии (рис. 2, б), что легко наблюдается визуально. После сгла­живания ватерлинии определяют окончательные значения Мi, и составляют уравнения (4) для каждого участка ватерлинии.

Фрагмент изображения ватерлинии
Рис. 2 Фрагмент изображения ватерлинии
а — не сглаженной;
б — сглаженной

Подставляя в эти уравнения абсциссу конструктивных шпангоутов х, вычисляют их полушироты. Аналогично формируются уравнения шпангоутов и батоксов, которые в совокупности с уравнениями ватерлиний представляют математическую модель корпуса в аппроксимированном виде.

Для вычерчивания теоретического чертежа чертежной машиной кубические сплайны аппроксимируют дугами окружностей, как пока­зано на рис. 3. Для этого на каждом участке через точки А и В прово­дят дуги двух окружностей, сопрягающиеся в точке К. Координаты (xА, yА), (xВ, yВ) и угловые коэффициенты касательных у'(xА) и у'(xВ) известны из сплайна.

Задача решается на ПК итерационно с оценкой качества аппроксимации. Качество проверяют путем сравнения за­штрихованной площади S с суммарной площадью двух круговых колец шириной δ и радиусами RА и RB, найденными в процессе решения задачи:

S < (αRА + βRB

Где:

  • δ -максимально допустимое отклонение дуг окружностей от сплайна;
  • α и β — центральные углы.

Радиусы:

RA1yA(xA) и RB1yB(xB)

Где:

  • y’А(xА) и y’В(xВ) — вторые производные от сплайна в точках А и В.

Движение рабочего органа деталей корпуса осуществляется системой ЧПУ по хордам. Максималь­ная длина хорды зависит от допуска ƒ на аппроксимацию дуг окружностей хордами. Для обеспечения плавности линий, т. е. пренебрежимо малой величины «огранки» принимают ƒ= 0,3 мм.

Из треугольника O1 AD, пренебрегая весьма малой величиной ƒ2А = 0,09 мм2, можно по­лучить:

ƖA22RAƒA

Или, подставляя ƒА = 0,03 мм, получить:

ƖA20,6RA

Аналогично:

ƖB=20,6RB

Из того же треугольника центральный угол:

α=2arctgƖA/2RA2(ƖA2)

Аналогично:

β=2arctgƖB/2RB2(ƖB2)

Получив математическую модель корпуса судна, переходят к реше­нию тех же задач, что и после плазовой разбивки. Выполняют решения на чертежных машинах, используя ПК и математические методы.

Аппроксимация кубиче­ского полинома дугами окружно­стей
Рис. 3 Аппроксимация кубиче­ского полинома дугами окружно­стей
1 — касательная;
2 — кубический сплайн;
3 — дуги окружностей;
4 — хорды

При определении формы и размеров деталей корпуса требуется пред­варительная трассировка пазов наружной обшивки и теоретических ли­ний продольного набора. Трассировка пазов заключается в расчете координат точек пересечения пазов на проекции «корпус» с линиями шпангоутов и стыков. Пазы на про­екции «корпус», как показано на рис. 4, по участкам или по все­му корпусу принимают за прямые линии или в виде слабоизогнутых кривых линий.

Поскольку каждый участок шпангоута между ватерли­ниями аппроксимирован своим уравнением, их суммарное количе­ство по всем шпангоутам весьма ве­лико, что усложняет задачу трасси­ровки пазов. Для упрощения целесообразно каждый шпангоут разделить на несколько участков и каждый участок аппроксимировать кубическим полиномом вида:

zшп = Ay3 + By2 + Ay + D

Неизвестные коэффициенты А, В, С, D можно вычислить, решив ему четырех уравнений, для чего должны быть использованы изтные координаты четырех точек участка шпангоута.

Для прямолинейных пазов на проекции «корпус» принимают урав­нения прямой:

zп = ky + b

Где:

k=zezdyeyd; b=zdkyd

Координаты точек e и d должны быть известны. Если паз криволиней­ный, то его задают в виде квадратичного или кубического полинома:

zп = Ay2 + By + C

Или:

zп = Ay3 + By2 + Су + D

Входящие в полиномы неизвестные коэффициенты A, B, C и D мож­но вычислить, решив системы трех или четырех уравнений при извес­тных координатах трех или четырех точек проекции паза, например, Точек a, b, с, i.

Фрагмент проекции «корпус» с пря­молинейными и криволинейными пазами
Рис. 4 Фрагмент проекции «корпус» с прямолинейными и криволинейными пазами

Решая систему уравнений zпzшп для каждого шпангоута, можно определить координаты уп точек пересечения паза со шпангоутами, а подставив эти координаты в уравнение паза, определить ординаты zп. Точки пазов могут задаваться и криволинейными координатами, т. е. длинами дуг шпангоутов или стыков, в частности, длинами sa, sd и т. д. в виде цепочки размеров от ДП судна. В этом случае координаты у указанных точек определяют как верхний предел ув интеграла, по которому вычисляется длина дуги:

s=yhyb1+zШП2dy                   (6)

Где:

  • z’шп — первая производная уравнения, которым аппроксимирован шпангоут.

Расчет размеров плоских деталей рассмотрим на примере днищево­го стрингера, показанного на рис. 5, плоскость которого перпенди­кулярна ОП и наклонена к ДП и ПМШ.

К расчету контура стрингера, перпендикуляр­ного ОП
Рис. 5 К расчету контура стрингера, перпендикуляр­ного ОП
а — стрингер на проекции «корпус»;
б — контур и размеры стрингера

Все шпангоуты аппроксими­рованы уравнениями так же, как и теоретическая линия стрингера — линия пересечения его плоскости с внутренней поверхностью наруж­ной обшивки. Совместное решение уравнений позволяет определить координаты у и z точек а, с, d, е, b. Вычтя координаты z этих точек из высоты второго дна zд, можно найти величину отрезков hi = zдz. Рас­тянутая шпация:

РШ=y2+Ш2

Где:

  • y=ybya4

Зная hi и РШ, можно построить контур стрингера и проставить его размеры. Здесь уа и уb — полушироты точек а и b.

К расчету контура стрингера, наклоненного к трем основным плоскостям проекций
Рис. 6 К расчету контура стрингера, наклоненного к трем основным плоскостям проекций
а — стрингер на проекции «корпус»;
б — контур и размеры стрингера

Рассмотрим случай, когда деталь, показанная на рис. 6, наклоне­на ко всем трем основным плоскостям корпуса судна. Координаты то­чек а, с, d, е, b находят как и в предыдущем случае. Линии пересечения стрингера плоскостями шпангоутов параллельны друг другу. Необхо­димо вычислить sinα по формуле:

sinα=y0y0(yaya)2+(zдza)2

Тогда:

y=ybya4cosα; hi=zдzicosα; 0α=(ybya)sinα

По этим данным, как видно из рис. 6, б можно однозначно задать контур и размеры стрингера.

Ранее был рассмотрен графический способ развертывания деталей дво­якой кривизны методом геодезических линий. Такие детали аналитичес­ки можно разворачивать методом наименьших площадей. Применяя ме­тод наименьших площадей, как показано на рис. 7, поверхность детали аппроксимируют многогранной поверхностью. Ребрами поверхности яв­ляются отрезки, соединяющие точки разбиения шпангоутов, а гранями — треугольники. Фактически применяют метод триангуляции поверхности.

Все шпангоуты аппроксимируют кубическими полиномами с коэффи­циентами Ai, Bi, Сi, Di, определяемыми при решении систем уравнений:

Ay31 + By21 + Су1 + D = z1 ;

Ay3n + By2n + Суn + D = zn ;

6Ax1 + 2B = z’1 ;

6Axn + 2B = z’n .

Где:

  • у1, z1, …, уi, zi,…. yn, zn — координаты пазовых точек в системе осей корпуса судна 0zyx;
  • z1, zn — величины вторых производных в пазовых точках, получаемые при решении задачи трассировки пазов.

Длину Ɩi каждого шпангоута между верхним и нижним пазами вы­числяют по формуле (6). Ею же пользуются для вычисления длины средних линий шпангоутных полос, равных полусумме длин образую­щих их дуг шпангоутов.

Развертка детали двоякой кривизны методом наимень­ших площадей
Рис. 7 Развертка детали двоякой кривизны методом наименьших площадей
а — развертываемая деталь (в аксонометрии);
б — обкатывание первой по­лосы второй;
в — сдвиг второй полосы влево

Из всех полос выбирается полоса с максималь­ной длиной средней линии и разделяется на N частей, состоящих из двух треугольников каждая. Обычно принимается N = 10 (на рис. 7 для упрощения взято N = 5). Для определения координат у точек раз­биения шпангоутов указанной полосы, равных верхнему пределу ин­теграла (6), при длинах дуг si = Ɩi / 10; 2Ɩi / 10; …; 9Ɩi / 10 используют также формулу (6).

Зная у, можно вычислить координаты z тех же точек. Координаты х точек разбиения каждого шпангоута определены в системе осей координат 0zyx с началом в плоскости z0y, как расстоя­ния, кратные шпации. Имея значения координат вершин треугольников, вычисляют их площади. Например, площадь треугольни­ка ifk (рис. 7, б)

Sifk=1/2yi(zƒzk)+yƒ(zkzi)+yk(zizƒ)

Тогда первое значение суммарной площади полосы:

S1=n=1n=2Nsn

Затем полосу разбивают на N + 1 частей и аналогичным образом вы­числяются координаты точек разбиения, площади треугольников и вто­рое значение суммарной площади полосы — S2. Если S2S1 меньше принятой из практики величины точности аппроксимации поверхно­сти детали δ, то количество участков разделения всех полос оконча­тельно считается равным N. В противном случае процесс разбиения на большее количество участков продолжается до удовлетворения принятой величины точности аппроксимации.

Величина точности счита­ется достаточной при выполнении условия δ ≤ (0,0001 — 0,001). После окончания итерационного процесса и определения количества участ­ков разделения полос вычисляют длины ребер треугольников. Напри­мер, ребра d1, d2, d3 треугольника 1, 2, 3 (рис. 7, а):

d1=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2

d2=(x3x2)2+(y3y2)2+(z3z2)2

d3=(x3x1)2+(y3y1)2+(z3z1)2

Процесс собственно развертывания многогранной поверхности на­чинают с развертывания на плоскость отдельных ее полос. Выполне­ние развертки каждой полосы заключается в последовательной сты­ковке смежных треугольников, составляющих полосу в плоской системе осей координат y0z (рис. 7, б). Для этого вычисляют координаты вер­шин треугольников в собственной, связанной с первым треугольником, плоской системе координат η0С, которая выбирается так, чтобы нача­ло ее координат совпадало с вершиной 1, а ось η0 совпадала со сторо­ной 1 — 2 первого треугольника.

Таким образом, собственная система осей координат η0С первой полосы совпадаете общей системой коорди­нат y0z. Из принятого способа выбора собственной системы координат первой полосы следует, что координаты точек 1 и 2 С1 = Z1 = С2 = Z2 = 0, а координата точки 2 η2 = y2d1. Координаты точки 3 вычисляются из очевидной системы уравнений:

y23 + z23 = d23 и (y3y2)2 + z23 = d23

Далее производят стыковку второго треугольника с первым, т. е. вычисляют координаты вершины 4 в системе координат y0z, третьего треугольника со вторым и т. д. Координаты точки 4 вычисляют из сис­темы уравнений:

y24 + z24 = d24 и (y3y4)2 + (z4z3)2 = d27

В общем виде координаты точки j вычисляют из системы уравнений:

(yjyi)2 + (zjzi)2 = d2i и (yjy4)2 + (zjz4)2 = d27

И т. д. до вычисления координат всех вершин треугольников первой по­лосы в общей системе координат y0z.

Аналогично вычисляют координаты вершин треугольников каждой из полос в ее собственной системе координат. В результате полного пе­ребора всех составляющих треугольников первой полосы получают ее развертку на плоскости y0z. Затем первая полоса «обкатывается» вто­рой полосой (рис. 7, б) и вычисляют заштрихованные площади «рас­стыковки». Окончательным из всех возможных будет то положение второй полосы, при котором площадь «расстыковки» окажется наименьшей.

Площади «расстыковки» также разделяют на треугольники, после чего вычисляют сумму их площадей. Для определения площа­дей координаты вершин треугольников второй «перекатываемой» по­лосы пересчитывают для каждого ее положения из собственной систе­мы координат η0С с началом отсчета в точке 2 в общую систему координат y0z «обкатываемой» полосы по формулам преобразования координат. Например, для точки i:

yi = y0 + ηi cosα — Сi  sinα ;

zi = z0 + ηsinα — Сi  cosα .

Откуда:

y0 = yi + ηi cosα + Сi  sinα ;          (7)

z0 = zi + ηsinα — Сi  cosα .          (8)

В выражениях (7) и (8) y0, z0 и угол α неизвестны. Для их опре­деления вычисляют тригонометрические функции угла α = γ — β, где, как следует из схемы наклона осей на рис. 7, б, γ и β — углы наклона ребра i-j к осям 0η и 0y. Тогда:

sinα = cosα(γ — β) = sinγ cosβ — sinβ cosγ          (9)

cosα = sinα(γ — β) = sinγ cosβ — sinγ cosβ          (10)

sinγ=zjzidi, cosγ=yjyidi                   (11)

sinβ=CjCidi, cosβ=ηjηidi                   (12)

Подставляя (11 и 12) в (9 и 10), получаем:

sinα=z×ηy×Cdi2, cosα=y×η+z×Cdi                   (13)

Где:

  • y = yjyi ;
  • z = zjzi ;
  • η = ηj — ηi ;
  • C = CjCi .

Значения у0 и z0 определяют после подстановки (13) в (7) и (8). Далее по формулам преобразования координат вычисляют коорди­наты вершин треугольников второй полосы в общей системе коорди­нат y0z для всех положений этой полосы относительно первой. Например, для точки «к» координаты yk и zk получают решением систем уравнений:

(yky0)2 + (zkz0)2 = d210 ;

(ykyi)2 + (zkzi)2 = d212 .

Площади заштрихованных треугольников вычисляют по формулам, аналогичным формуле для sifk. Корректировку контура развертки для учета пластических деформаций гибки осуществляют последовательными приближениями. Как следует из рис. 7, в, сдвигая вторую полосу влево на некоторую величину ∆yi, пересчитывают координаты у точек контура вто­рой полосы и определяют площади заштрихованных участков acd, bef и ab, а также отношение суммы площадей acd и bef к площади ab.

По дан­ным практики для парусовидной детали оно должно составлять 1:3. Если это условие не соблюдено, то полоса вновь сдвигается на величину ∆yi — шаг итерации — и приближения повторяют, пока указанное соотношение будет выполнено. После корректировки вычисляют окончательные коор­динаты пазовых вершин треугольников, но которым контур развертки рассчитывается и появляется на дисплее ПК.

Математическую модель раскроя профильного проката создают на основе выполнения двух условий:

max Zj=i=1i=nƖixij ;i=1i=nƖixijLj(LjLj+1)

Где:

  • Zj — целевая функция, представляющая суммарную длину заготовок;
  • xij=1, если iая деталь раскаивается из jй заготовки0  в противно слуае;
  • Ɩj — длина i-й детали;
  • Lj — длина j-й заготовки;
  • n — количество дета­лей.

Задачу решают последовательно для каждой заготовки, что позво­ляет учесть несколько вариантов длины заготовок. Условие LjLj+1 приводит к рациональному построению алгоритмов раскроя и умень­шает вероятность случая, когда для какой-либо детали не находится заготовки соответствующей длины, поскольку весь металл уже исполь­зован для раскроя более коротких деталей.

Раскрой листового проката осуществляют перебором вариантов рас­положения деталей на картах раскроя, т. е. математически моделиру­ют на ПК ручной (графический) раскрой. Перед составлением карт рас­кроя контуры деталей предварительно упрощают: криволинейные контуры деталей заменяют ломаными линиями, мелкие вырезы исклю­чают, крупные внутренние вырезы заменяют вписанными многоуголь­никами.

ПК размещает первую крупную деталь в прямоугольнике оконтурованного заказного листа с пересчетом собственных координат детали в систему координат листа. Затем методом последовательных перемещений и поворотов с ней стыкуется вторая деталь до тех пор, пока критерий размещения не окажется удовлетворительным. После этого две детали объединяются в общий контур, к ним присоединяется третья деталь и т. д.

Небольшие группы деталей плотно укладывают в прямоугольники — фрагменты карт раскроя — с последующим раз­мещением полученных фрагментов в пределах заданных заказных ли­стов. Можно составить несколько вариантов планов раскроя.

Сформированные и принятые технологами карты раскроя для ви­зуального наблюдения вычерчиваются графопостроителем. При не­удовлетворительном коэффициенте использования металла (менее 0,82—0,86) деловые отходы и свободные области на картах раскроя за­полняют вручную или эти карты расформировывают, а детали собира­ют для размещения в следующей группе совместного раскроя.

Получение геометрических данных о форме лекал постелей для сбор­ки секций зависит от расположения плоскости основания постели.

К расчету высот лекал дважды усеченной постели
Рис. 8 К расчету высот лекал дважды усеченной постели

В случаях, когда плоскость основания постели (например, для сбор­ки бортовой или днищевой секции) параллельна диаметральной или основной плоскостям, форму лекал или высоты стоек постели опреде­ляют в системе главных координат судна. Когда криволинейные бор­товые секции имеют значительную кривизну, плоскость основания по­стели наклоняют для уменьшения высоты лекал или стоек и удобного, близкого к горизонтальному, расположения секций в постели. Стенд, на котором устанавливают съемные лекала, имеет тогда высоту 0,7—0,8 м. Стоечная постель имеет ту же высоту.

На рис. 8 показана дважды усеченная постель, базовая плоскость которой наклонена к ПМШ ик ДП. Ее лекала лежат в плоскостях шпан­гоутов под углом φ к базовой плоскости. Положение базовой плоско­сти задается полуширотами yi трех точек, например, точек 1′, 2′ и 3′, отстоящих от точек 1, 2 и 3 шпангоутов на ∆y1, ∆y2 и ∆y3, выбранных так, чтобы наименьшая высота лекал была более 200 мм. Высоты точек лекал определяют по формуле:

hi = di/ sinφ

Где:

  • di — отстояние точки i от базовой плоскости по перпендикуляру к ней.

Отстояние точек наружной обшивки от базовой плоскости:

di=xiTcosα+yiTcosβ+ziTcosγp                   (14)

Где:

  • p — длина перпендикуляра, опушенного из начала координат на базовую плоскость;
  • x y z — теоретические (плазовые) координаты точки i в системе основных координат судна;
  • α, γ, β — углы между ося­ми координат и перпендикуляром р.

Координаты x y z следует принимать для точек конструктив­ных шпангоутов на пересечениях с ватерлиниями.

К проверке формы бортовой секции
Рис. 9 К проверке формы бортовой секции

Для определения трех неизвестных косинусов и длины перпендикуляра нужно составить и решить систему, состоящую из четырех уравнений, используя фор­мулу для di, учитывая, что di точек 1′, 2′ и 3′ равны нулю, так как эти точки находятся в базовой плоскости, а их полушироты

у’ = y + ∆yi

Где:

  • i = 1,2,3.

В качестве четвертого уравнения используется равенство:

cos2α +cos2β -kos2γ = 1

Угол φ между базовой плоскостью постели и плоскостями шпанго­утов равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям (перпен­дикуляром р и осью 0x), т. е. φ = α. Определив косинусы угла и величи­ну р, можно вычислить di и hi для всех точек i лекал постели.

Для проверки формы бортовой секции, занимающей согласно рис. 9 произвольное положение на опорах в цехе, нужно вычислить отклонения ∆yi фактических полуширот точек наружной поверхности обшивки y от их теоретических (плазовых) значений yiT по формуле:

yi=yiTyiФ=yiT1cosβ(dixiTcosαziTcosγ+p)

Где:

  • di — отстояние по вертикали проверяемой i-й точки от базовой го­ризонтальной плоскости, проходящей через наиболее высокую точку секции в плоскости крайнего шпангоута (величину di замеряют при помощи теодолита или шлангового уровня).

Косинусы углов α, γ и β между базовой горизонтальной плоскостью и основными плоскостями проекций судна, т. е. между перпендикуля­ром р и основными осями координат, можно определить, решив совме­стно систему, состоящую из трех уравнений, составленных по (14) для точек 0 (d0=0), 1 и 2 (величины d1 и d2 замеряют на секции), и ра­венства для суммы квадратов косинусов углов.

Январь, 23, 2018 302 0
Читайте также