Уравнения движения судна

Векторные и кинематические уравнения в инерци­альной системе отсчета. Для составления уравнений дви­жения судна, необходимых для изучения маневренности судна, прежде всего нужно выбрать систему отсчета: инерциальную (неподвижную) или неинерциальную (подвижную).

Если рассматривать движение судна в инерциальной системе отсчета, то уравнение движения в общем случае определяется на основании второго закона динамики двумя векторными уравнениями:

$m_1\frac{dv}{dt}=F; Форм. 1$

$J_1=\frac{d{\omega }_c}{dt}{M}_c Форм. 2$

Первое уравнение (формула 1) представляет собой равенство главного вектора (результирующей силыОпределение результирующих сил инерции многоцилиндрового двигателя) внешних сил F произведению массы судна с учетом присоединенной массы воды m₁ на линейное ускорение судна dv_c/dt. Это уравнение характеризует поступательное движение центра инерции или центра тяжести судна.

Второе уравнение (формула 2) представляет собой равенство вектора главного момента внешних сил относительно вертикальной оси вращения судна М_с произведению мо­мента инерции судна с учетом присоединенного момента инерции масс воды относительно той же оси J₁ на угловое ускорение dω/dt. Это уравнение характеризует вра­щательное движение судна.

Положение судна на плоскости в инерциальной си­стеме отсчета К с осями Х₀ ОУ₀ в любой момент времени можно определить, задав радиус-вектор r₀ произвольной точки судна O₁ и угол курса ф₀ (рис. 1). Тогда кинематические уравнения движения в инерциальной системе отсчета в полярных координатах будут иметь вид:

$r_o=r_o\left(t\right); Форм. 3$

${\phi }_0={\phi }_0\left(t\right); Форм. 4$

В теории маневренности большое распространение получила неинерциальная система отсчета K₁ с началом в центре тяжести судна и правой системой координат, при которой положительное направление оси O_1x — это направление в сторону носа судна, оси O_1y — в сторону правого борта, оси r — вниз. Ось O_1x совпадает с диамет­ральной плоскостью судна.

Для того чтобы решить задачу о движении судна, необходимо знать законы действующих на судно сил и их моментов, которые можно подразделить на два вида: силы и моменты инерционной природы (внутренние силы), возникающие в результате действующих на судно ускорений, и силы и моменты гидроаэродинамической природы (внешние силы). При составлении уравнений будем считать, что движение судна происходит в горизонтальной плоскости с изменяющейся линейной скоростью v и угловой ско­ростью ω.

Силы и моменты инерционной природы. В неинерци­альной, жестко связанной с судном, системе отсчета К₁ при движении по криволинейной траектории m—n на судно будут действовать два ускорения: линейное ω_л = dv/dt и центростремительное ω_ц = ωv. В общем случае при движении по криволинейной траектории скорость судна уменьшается, поэтому вектор ускорения ω_л будет направлен в противоположную сторону вектору скорости v и отклонен от отрицательного направления оси O_1x на величину угла дрейфа β. Вектор центростре­мительного ускорения ω_ц всегда направлен в сторону поворота и отклонен от оси О₁γ на угол β.

Как видно из рис. 1, проекция векторов ω_л и ω_ц на оси координат неинерциальной системы К₁ соответственно равны:

${\omega }_{лх}=–{\omega }_{л}\cos \beta =–\frac{dv}{dt}–\cos \beta =–\frac{d{v}_x}{dt}; Форм. 5$

${\omega }_{лу}={\omega }_{л} \sin \beta =\omega u\sin \beta =\omega u_y; Форм. 6$

${\omega }_{лх}={\omega }_{ц}\sin \beta =\omega u\sin \beta =\omega u_{у}; Форм. 7$

${\omega }_{цу}={\omega }_{ц}\cos \beta =\omega u\cos \beta =\omega u_x. Форм. 8$

Ускорения ω_л и ω_ц вызовут появление сил инерции F_л и F_ц, которые будут равны произведению соответствующих масс на величину ускорений и направлены в сторону, противоположную ускорениям (рис. 3). Обозначим коэффициенты присоединенных масс воды по оси О₁х—λ₁₁, по оси О₁у—λ₂₂, тогда масса судна с учетом присоединенной массы воды вдоль оси 0₁х будет равна m(1 + λ₁₁), вдоль оси О₁у — m(1+λ₂₂). После суммирования проекций инерционных сил по оси 0₁x и О₁у будем иметь следующие выражения для сил инерционной природы:

$F_{хл}–F_{цх}=m(1+{\lambda }_{11})\frac{d{u}_x}{dt}·m(1+{\lambda }_{22})\omega u_y, Форм. 9$

$F_{ул}–F_{цу}=–m(1+{\lambda }_{22})\frac{d{u}_{у}}{dt}–m(1+{\lambda }_{11})\omega u_{х}. Форм. 10$

Если скорость судна при движении по кривой будет увеличиваться, то знаки сил F_xл и F_vл изменятся на об­ратные.

При неустановившемся движении по криволинейной траектории угловая скорость поворота ω является пе­ременной величиной, поэтому на судно будет действовать угловое ускорение dω/dt = φ″. При увеличении угловой скорости судна вектор углового ускорения будет направлен вдоль вектора угловой скорости ω, т. е. вниз, в сторону положительного значения оси z (рис. 2).

Предлагается к прочтению: Основы маневренности крупнотоннажных судов

Угловое ускорение вызывает появление инерционного углового момента М_ц, который препятствует повороту судна.

Угловой инерционный момент направлен в сторону, противоположную угловому ускорению, и численно равен произведению момента инерции судна (с учетом присоединенного момента инерции от масс воды) на угловое ускорение

${М}_{и}=–J(1+{\lambda }_{66})\frac{d\omega }{dt}, Форм. 11$

где:

• λ₆₆ — коэффициент присоединенного момента инерции от масс воды.

Так как фактически ось вращения судна при движении по криволинейной траектории находится не в точке О₁ а в точке О₂, т. е. сдвинута к носу судна на величину а₁, то в создании инерционных моментов будут участвовать проекции инерционных сил F_лу и F_цу. Проекции сил F_лx и F_цх пересекают ось вращения и моментов не создают.

Моменты от сил F_лv и F_цv способствуют повороту судна, поэтому их векторы M_Fл и M_Fu в рассматриваемом случае совпадают по направлению с вектором угловой скорости и и будут направлены вниз. Модули этих моментов будут равны M_Fл = F_луa₁; M_Fu=F_цуa₁. Опре­делим суммарный момент:

$M_{Fл}+{М}_{Fц}=m(1–{\lambda }_{22})\frac{d{v}_v}{dt}\alpha 1+m(1+{\lambda }_{11})\omega u_x{\alpha }_1. Форм. 12$

Учитывая, что ωа₁ = v_v, произведение (dv_v-/dt) а₁ = = ωv_xa₁ = v_xv_у, можем записать

$M_{Fл}+{М}_{Fц}=m(2+{\lambda }_{22}+{\lambda }_{11})u_x{u}_y . . . Форм. 13$

Если движение судна по криволинейной траектории происходит с увеличением скорости поступательного движения, то момент изменит знак на обратный, в этом случае будем иметь:

$M_{Fл}+{М}_{Fц}=m(1+{\lambda }_{22})\frac{d{u}_y}{dt}{\alpha }_1+m(1+{\lambda }_{11})\omega u_x{\alpha }_1, Форм. 14$

• или в окончательном виде

$M_{Fл}+{М}_{Fц}=m({\lambda }_{11}–{\lambda }_{22})u_x{u}_y. Форм. 15$

Суммарный инерционный момент при увеличении ско­рости поворота судна и уменьшении линейной скорости движения будет иметь вид:

$M_{и}+{М}_{Fл}+{М}_{Fц}=–J(1+{\lambda }_{66})\frac{d\omega }{dt}+m(2+{\lambda }_{22}+{\lambda }_{11})u_x{u}_y. Форм. 16$

Этот момент при увеличении скорости поворота и линейной скорости судна будет равен:

$M_{и}+{М}_{Fл}+{М}_{Fц}=J(1+{\lambda }_{66})\frac{d\omega }{dt}+m({\lambda }_{22}–{\lambda }_{11})u_x{u}_y. Форм. 17$

Значение именно этого момента приводится в боль­шинстве работ по управляемости судов.

Силы и моменты аэрогидродинамической природы, силы тяжести и водоизмещения. Все внешние силы и моменты, действующие на судно, могут быть разбиты на пять категорий:

• аэродинамические силы и моменты, возникающие на надводной части корпуса судна;
• гидродинамические силы и моменты на корпусе судна;
• силы веса и водоизмещения;
• управляющие силы и моменты, создаваемые рулями, движителями и подруливающими устройствами;
• возмущающие силы и моменты, обусловленные воз­действием течений, волнением, гидродинамическим воз­действием корпуса судна с грунтом дна и берегов или корпусом другого судна.

Обычно при определении сил и моментов, действую­щих на судно, принято опираться на так называемую гипотезу стационарности, согласно которой величины аэро- и гидродинамических сил полностью определяются кинематическими параметрами движения судна в дан­ный момент времени. Силы и моменты, действующие при прямолинейном движении с углами дрейфа, называют позиционными, а силы и моменты, обусловленные вра­щением судна,—демпфирующими.

Проекции главного вектора и главного момента гидродинамических сил на оси связанной системы координат определяются следующими формулами:

$\left[\begin{array}{c}{F_x}_1\\ {F_y}_1\\ F_{z_1}\end{array}\right]=\frac{1}{2}{\rho }_{1}S{u}^2\left[\begin{array}{c}{C_x}_1\\ {C_y}_1\\ {C_z}_1\end{array}\right]; Форм. 18$

$\left[\begin{array}{c}{{М}_x}_{{}_1}\\ {{М}_y}_{{}_1}\\ {М}_{z_1}\end{array}\right]=\frac{1}{2}{\rho }_{1}S{u}^{2}L\left[\begin{array}{c}{m_x}_{{}_1}\\ {m_y}_{{}_1}\\ {m_z}_{{}_1}\end{array}\right]; Форм. 19$

где:

• p₁ — массовая плотность воды, кг/м²;
• S, L — площадь, м², и длина, м, корпуса судна;
• v — скорость судна, м/с;
• C_у1, C_v1, C_z1 — характеристики (коэффициенты) продольной, нормальной и поперечной гидродинамических сил соответственно;
• m_х1, m_у1, m_г1 —характеристики (коэффициенты) гидродинамических моментов крена, рыскания и дифферента соответственно.

Проекции главного вектора и главного момента аэро­динамических сил на те же оси определяются анало­гично.

На капитанском мостике должны находиться таблицы и графики, позволяющие вахтенному помощнику ка­питана достаточно быстро произвести приближенный расчет сил, воздействующих на судно от внешних фак­торов. В качестве примера (табл. 1) приведен расчет сил давления ветра на нефтерудовоз типа «Маршал Буденный», произведенный по формуле:

$F_{в}=0,59{С}_{в}{u^2}_{в}({А}_{с}{\cos }^2\Theta +B_c{\sin }^2\Theta ), Форм. 20$

где:

• F_B — сила воздействия ветра, Н;
• C_В — коэффициент, учиты­вающий уменьшение скоростного напора ветра по высоте (по ис­следованиям автора C_В=0,7 — при стоянке судна у причалов;
• C_В — = 0,8 — на свободной поверхности воды);
• >v_В — скорость ветра, м/с;
• Ас — лобовая парусность судна, м²;
• В_C — боковая парусность судна, м²;
• 9 — курсовой угол ветра, °.

Ниже приведена зависимость от скорости сил течения на подводную часть корпуса того же судна при осадке 16,5 м на глубокой воде.

Расчет произведен по формуле:

$F_1=K{u^2}_{Т}{S}_K\sin \Theta Форм. 21$

где:

• F_T — сила воздействия воды от течения, Н;
• К — коэффициент, равный 343,35;
• S_k2 — площадь боковой поверхности подводной части корпуса судна, м²;
• v — скорость течения, м/с;
• Θ — курсовой угол течения, °.

• Скорость течения, м/с (уз) 0,25 (0,5) 0,51 (1) 1,03 (2) 1,54 (3);
• Воздействие течения при Θ – 90°. 7,8· 104 3,14 ·105 1.29·106 2,88·106.

В качестве примера на рис. 4 приведены графики сил сопротивления воды корпусу судна на глубокой воде для круп­нотоннажных танкеров при движении без учета угла дрейфа. На рис. 5 для этих же судов приведены силы упора винта при оборотах полного хода в зависимости от скорости движения на переднем и заднем ходу. На рис. 6 по­казаны графики по­перечных сил на корпусе для нефте­рудовоз а «Борис Бутома», а на рис. 7 и рис. 8 — значение позиционных и демпфирующих моментов, воздействующих на корпус того же теп­лохода в грузу (М_Д^ГР) и в балласте М_д^бал в зависимости от скорости и угла дрейфа.

У крупнотоннаж­ных судов при движении на участках пути (проливах, реках), где имеется течение и уклон поверхности воды, под действием веса возникают значительные силы соскальзывания. В практике управления судами типа «Крым» и крупнотоннажными одновинтовыми судами других типов Новороссийского морского пароходства имелись случаи, когда вследствие тех или иных технических причин главный двигатель мог работать только на малых оборотах, обеспечивая скорость движения в спокойной воде 6—8 уз. При движении в проливе Дарданеллы, а иногда в Эгейском море, где скорость встречного течения не превышает 3—5 уз, судно, имеющее ход относительно воды 6—8 уз, оста­навливалось. И после длительной многочасовой попытки преодолеть участок судно, заняв положение под углом к течению, начинало сноситься в сторону берега. Для предотвращения возникавшей аварийной ситуации машина останавливалась, и на заднем ходу судно выходило из пролива.

После одной-двух неудачных попыток капитаны об­ращались в пароходство с просьбой выслать для про­водки буксировщик, в ожидании которого крупнотон­нажное судно простаивало 2—3 сут.

Причиной невозможности преодолеть участки пути со скоростями течения 5 уз, когда крупнотоннажное судно способно развивать скорость 6—8 уз, является действие силы соскальзывания F_CK, которая, как видно из рис. 9, равна:

$F_{ck}=D\sin {\alpha }_y, Форм. 22$

где:

• D — весовое водоизмещение судна, Н;
• α_v — угол, харак­теризующий продольный уклон поверхности воды, °.

Продольный уклон i = sin α_v поверхности воды можно определить, воспользовавшись широко известным в гид­ротехнике уравнением Шези, имеющим вид:

$u_{T cp}=C\sqrt{iH}, Форм. 23$

где:

• v_т.ср — средняя скорость течения, м/с;
• C — коэффициент Шези, Н — глубина.

При ориентировочных расчетах можно принимать С≈22. На основании формулы 24 i = v_т²/C²Н, тогда сила соскальзывания, действующая на судно, для прак­тических расчетов может быть определена по формуле:

$F_{CK}=\frac{D}{H}(\frac{u_T}{C}{)}^2. Форм. 24$

Если упор двигателя F_д ≤F_CK + R_T (R_T — сопротивление сил трения на корпусе судна от течения), то проход данного участка пути невозможен. Как показывают рас­четы, величина силы соскальзывания, действующей на судно водоизмещением 100 тыс. — 150 тыс. т, может до­стигать в проливах 15—25 т, что при скорости 7—8 уз приводит к потере скорости 2—3 уз.

Управляющими силами на крупнотоннажных судах являются силы давления на рули и силы упора подру­ливающих устройств. Рулевая сила P_v в случае распо­ложения руля за гребным винтом может быть опреде­лена по формуле:

$P_y=52r_1{C}_p{S}_p{u^3}_{cp}(x_p+\beta ), Форм. 25$

где:

• r₁ — поправочный коэффициент, учитывающий влияние со­противления корпуса, r₁≈1,2, С_р — коэффициент, зависящий от от­носительного удлинения руля λ = h_p/l_p (здесь h_p — высота, l_p — длина руля);
• C_p — определяется по графику, (рис. 12, а);
• S_P — площадь руля, м²;
• v_p — средняя скорость воды, набегающей на руль, м/с;
• α_p — угол перекладки руля, °;
• β — угол дрейфа, °.

На танкерах типа «Крым» и других крупнотоннажных судах устанавливаются водометные подруливающие устройства (ВПУ). Рабочим органом ВПУ является осевой насос, который всасывает воду, а затем выбрасывает ее через одно из двух сопел, расположенных перпен­дикулярно бортам. Сила упора ВПУ на танкере «Крым» составляет 57,8 кН. Величина упора изменяется пере­крытием поперечных каналов с помощью затворов. Время изменения направления упора с одного борта на другой не более 30 с. В настоящее время разработан нор­мализованный ряд ВПУ, приведенный в табл. 2.

 
На очень малых ходах обычные рули малоэффективны. Существующие носовые ВПУ эффективны в исполь­зовании, когда скорость судна равна нулю или не пре­вышает 3 уз. ВПУ не только способствуют сокращению времени выполнения ряда маневров, но при плавании в узкостях, проливах, реках, каналах могут оказать судо­водителю неоценимую помощь при расхождении с дру­гими судами, когда требуется снизить до минимума ско­рость или остановиться, при постановке на якорь, осо­бенно при ветре и в других случаях.

Из сравнения сил упора, создаваемых ВПУ, с силами воздействия ветра можно сделать вывод что для гарантированного управления крупнотоннажными судами при сильных ветрах существующие ВПУ обладают недостаточной силой упора. Возмущающие силы под действием волнения трудно поддаются расчету. Как показывают исследования Д. Н. Ньюмена, сила от воздействия волн может быть выражена следующим со­отношением:

$F_{y\alpha }=K_{y}D\frac{{h^2}_{в}}{{{\lambda }^2}_{в}}, Форм. 26$

где:

• K_У — коэффициент, равный 0,05 (зависит от глубины воды);
• D — водоизмещение судна;
• h_B — высота волны, м;
• λ_В — длина волны, м.

Короткие волны, которые почти полностью гасятся судном, передают ему почти всю свою кинетическую энергию, в результате чего возникает значительный напор в направлении распространения волн, в то же время длинные волны возбуждают только колебательные движения, не создавая горизонтального напора.

Вращающий момент, порождаемый волнением F_М.В, может быть выражен следующим образом:

$F_{м.а}={К}_{м}D\frac{{h^2}_{в}}{{{\lambda }^2}_{в}}\sin {\psi }_{н}, Форм. 27$

где:

• K_м — коэффициент момента;
• ψ_В — угол волновой атаки, °.

При волнении, направленном в корму F_М.В. достигает наибольшего значения и судно трудно удерживается на курсе. Крупные суда очень подвержены действию длинных волн в отношении влияния на стабилизацию курса.

Читайте также: Социально-психологические аспекты управления судовым экипажем

Уравнения движения судна в неинерциальной системе отсчета. Для рассматриваемого случая движения точки m_i, расположенной на диаметральной плоскости судна, можно считать сложным движением: движением относительно неинерциальной системы и движением переносным в отношении инерциальной системы отсчета. Тогда в силу общих геометрических свойств сложного движения абсолютное ускорение точки m_i будет равно:

${\omega }_{iабс}={\omega }_{iо\tau а}+{\omega }_{iпер}. Форм. 28$

На основании второго закона Ньютона можно записать m_iω_iабс=F_i, или

$m_i({\omega }_{iо\tau 1}+{\omega }_{iпер})F_i. Форм. 29$

Второе соотношение можно переписать так:

$m_i {\omega }_{iо\tau }=F_i–m_i{\omega }_{iпер}. Форм. 30$

Формулу 30 можно трактовать как запись закона Ньютона применительно к неинерциальной системе от­счета. Второй член в правой части формулы 30 имеет размерность силы. На основании этой формулы, рас­пространяя массу точки m_i на всю массу судна, с учетом соответствующих присоединенных масс воды можем записать уравнения движения судна в неинерциальной системе отсчета:

$\left. \begin{array}{c}m(1+{\lambda }_{11})\frac{d{u}_x}{dt}–m(1+{\lambda }_{22})\omega u_y=\Sigma F_x;\\ m(1+{\lambda }_{22})\frac{d{u}_y}{dt}+m(1+{\lambda }_{11})\omega u_x=\Sigma F_y;\\ J(1+{\lambda }_{66})\frac{d\omega }{dt}+m({\lambda }_{22}–{\lambda }_{11})u_x{u}_y=\Sigma M_z.\end{array}\right\} Форм. 31$

В левой части уравнений стоят инерционные члены, в правой — силы и моменты неинерционной природы. Интегрируя систему (формула 31), можно найти три функции v (t), β(t), ω (t). В свою очередь эти функции позволяют определить изменения угла курса φ(t) и угла скорости ψ(t). Далее по значениям v (t), ψ(t) и β(t) можно оп­ределить координаты центра тяжести судна x (t) и у (t) и на их основе построить траекторию движения судна в горизонтальной плоскости.