.

Расчет прочности корпуса дока при скручивании

Определение продольного крутящего момента, как и поперечного, подразумевает выполнение расчетов, а также заполнение технической карты.

Общая характеристика скручивания корпуса дока

Наличие дополнительных нормальных напряжений от скручивания у транспортных доков, корпуса которых проектируют максимально облегченными, может привести к нарушению условий прочности. Важное значение приобретает расчет прочности на скручивание для ремонтных доков при перегоне морем.

Читайте также: Расчет общей поперечной прочности сухого дока

Скручивание относительно продольной оси дока (в дальнейшем будем называть его «продольным») вызывает взаимный поворот и депланацию поперечных сечений. Скручивание относительно поперечной оси («поперечное скручивание») вызывает аналогичные взаимные деформации продольных сечений дока.

Определение продольного крутящего момента от несимметричной загрузки дока

При одновременном (несимметричном) доковании двух или нескольких судов в корпусе дока возникает скручивающий момент. Соответствующей балластировкой док всегда может быть выровнен на ровный киль. В этом случае продольный крутящий момент в каком-либо сечении дока определяется как алгебраическая сумма кренящих моментов, приложенных с одной стороны рассматриваемого сечения. Эпюра крутящих моментов может быть определена как интегральная кривая от кривой распределенных по длине кренящих моментов (рис. 1).

Определение продольного крутящего момента
Рис. 1 Продольное скручивание корпуса дока при несимметричном доковании двух судов: а — схема несимметричного докования двух судов, D1, D2 — доковые веса судов; l1; l2 — смещения килевых дорожек от ДП дока; б — эпюра кренящих моментов mкрен, распределенных по длине; — f1=D1l1; f2=D2l2 — площади эпюры от первого и второго судна, f1 = f2;

в — эпюра крутящих моментов Мкр

При крене дока, т. е. когда принятый на стапель-палубу несимметричный груз не уравновешен, для определения крутящего момента следует просуммировать эпюры кренящих моментов от грузов с эпюрой распределенных восстанавливающих моментов сил поддержания и проинтегрировать суммарную эпюру (рис. 2).

Определение поперечного крутящего момента от несимметричной загрузки дока

При несимметричном доковании судов, кроме продольного скручивания, возникает также поперечное скручивание корпуса дока.

Схема расчета крутящего момента с учетом крена
Рис. 2 Схема расчета крутящего момента с учетом крена: а — эпюра кренящих моментов Мкрен; б — эпюра крутящих моментов Мкр. 1, 2 — эпюры кренящих моментов от судов; 3 — эпюра восстанавливающего кренящего момента от сил поддержания

Поперечный крутящий момент в любом продольном сечении определяется как алгебраическая сумма дифферентующих моментов, приложенных с одной стороны рассматриваемого сечения. Эпюра крутящих моментов есть интегральная кривая от кривой распределенных по ширине дока дифферентующих моментов (рис. 3).

Поперечное скручивание корпуса дока при несимметричном доковании
Рис. 3 Поперечное скручивание корпуса дока при несимметричном доковании двух судов: а — схема несимметричного докования; б — эпюра дифферентующих моментов; в — эпюра крутящих моментов

При наличии неуравновешенного дифферента следует учитывать восстанавливающий момент сил поддержания.

Определение продольного крутящего момента при статической постановке на «косую волну»

Вопросу определения Мкр при статической постановке судна на «косую волну» посвящены работы Ю. А. Шиманского, В. В. Давыдова, А. А. Курдюмова, А. И. Максимаджи и Н. Н. Руднева, а также других авторов.

Наиболее удобная формула приближенного определения крутящего момента на миделе приведена в книге В. В. Давыдова в форме

Мкр = RγrB2L,          Форм. 1

где:

  • γ — объемный вес воды;
  • r — полувысота расчетной волны;
  • B, L — ширина и длина дока;
  • RLλ;LB

    — коэффициент, значения которого даны в табл. 1;

  • λ — длина волны.
Таблица 1. Значения коэффициента R
Lλ1234567
LB6810681068106810681068106810
R·103241815514135726050787263747874587677366877

Максимальный крутящий момент определяется по формуле (Формула 1) для нескольких значений

Lλ

(в пределах

от 13 до 14

).

Курсовой угол ψ, соответствующий неблагоприятному

λL

, находится как

ψarc cosλL.

Определим максимальный крутящий момент на миделе дока с размерами L = 120 м; B = 20 м.

Для

λ = L и 2r = λ30+2 = 6 м

имеем

Мкр = RγrB2L = 0,024·3,0·202·120 = 3450 тм.

Для других элементов волны получим:

Значения элементов волны
L : λλм2r мМкртм
26044 900
3403,335 760
4303,05 600
5242,85 000

Как видно из примера, наибольший крутящий момент возникает при

λ13L

, при этом неблагоприятный курсовой угол равен

ψarc cos 13 = 70°.

Обобщенное выражение для

Мкр

может быть представлено в следующем виде (см. Кильблоки, клетки, упорыКонструкции и проектирование корпусов плавучих доков):

Мкр = 110γrB3 tgψ 1π210Bλ2 sin2ψ×1cosπLλcosψ,         Форм. 2

  • где значения величин γ, r, λ, В, ψ объяснены выше.

По этой формуле максимальное значение крутящего момента также определяется из расчета для нескольких значений

λL

.

Учет динамических факторов

Приведенные выше формулы носят теоретический характер. Как показал эксперимент, проведенный кафедрой строительной механики корабля ЛКИ (см. Система набора плавучих доковКонструкции и проектирование корпусов плавучих доков), реальная величина крутящего момента значительно ниже подсчитанного по теоретическим формулам. Это объясняется влиянием динамических факторов, сопровождающих процесс волнения.

Динамические крутящие моменты для доков с

LB

могут быть определены по формуле

Мдинкр = γrB2L1 000K дин.          Форм. 3

Значения Кдин, полученные экспериментальным путем, приведены в табл. 2.

Таблица 2. Значение коэффициента Kдин
λL0,530,630,700,9651,071,22
ψ, град.30456075304560753045607530456075304530456075
Kдин1,83,67,614,34,429,315,816,511,714,320,415,118232213,916,216,610,813,512,810,8

Динамический крутящий момент можно также определить по формуле

Мдинкр = Мкр·K1·K2,         Форм. 4

где:

  • Мкр — статический крутящий момент, определяемый по формулам (Формула 1)—(Формула 2);
  • K1 = 12πТλ

    — коэффициент, учитывающий эффект Смита;

  • K2 = 1φ

    — коэффициент, учитывающий дифракцию волн новой поверхности.

Для доков

LB4,5   φ = 1,81K0Т0,0811K0Т,

где

K0Т = 2πТλ;

  • Т — осадка дока;
  • λ — длина расчетной волны.

Определение поперечного крутящего момента при статической постановке на «косую волну»

Поперечный крутящий момент в диаметральной плоскости дока при статической постановке на волну можно определить по следующей формуле1:

Формула (в несколько измененном виде) заимствована из статьи Расчет прочности ферм башенРасчеты местной прочности металлических плавучих доков.

Мкр = γπ·nL2B28sin ψ·fku·φkv,         Форм. 5

где

  • n = hλ

    — отношение высоты к длине волны;

  • u = πLλcos ψ

    — аргумент функции

    fku

    ;

  • v = πLλBLsin ψ

    — аргумент функции φk (v).

Графики функций

fku

и φk (v) приведены на рис. 4 и 5.

График функции
Рис. 4 График функции fk (и)

Максимальное значение поперечного крутящего момента определяется по формуле (Формула 4) для определенного диапазона

Lλ

и ψ. Расчеты удобно вести в табличной форме.

График фрикции
Рис. 5 График фрикции φk (v)

Специальных исследований о влиянии динамических факторов на величину поперечного крутящего момента не велось, но, очевидно, что это влияние будет таким же, как при продольном скручивании.

Определение напряжений при продольном скручивании

Теория стесненного скручивания тонкостенных стержней замкнутого недеформируемого профиля разработана в 1939—1940 гг. проф. А. А. Уманским применительно к авиаконструкциям. Чи­татели, интересующиеся основами теории стесненного кручения, могут обратиться к трудам и других авторов. Ниже изложена схема расчета стесненного кручения, основанная на теории A. А. Уманского (см. Определение поперечного крутящего момента от несимметричной загрузки докаРасчет прочности дока при скручивании).

Внешний крутящий момент Мz вызывает стесненное скручивание корпуса. Крутящий момент уравновешивается системой внутренних касательных напряжений τk и τω, где τk — касательные напряжения чистого кручения; τω — секториальные касательные напряжения.

Если представить внешний крутящий момент как

Мz = Мk+Мω,         Форм. 6

где:

  • Мk — момент чистого кручения;
  • Мω — изгибно-крутящий момент,

то напряжения τk уравновешивают Мk:

Мτk = Мk,

а напряжения τω уравновешивают Мω:

Мτω = Мω.

Суммарное значение касательных напряжений

τ = τk+τω.          Форм. 7

Кроме касательных напряжений при стесненном кручении в результате депланации сечений возникает взаимно уравновешенная система так называемых секториальных нормальных напряжений σω. Касательные и нормальные напряжения для одноконтурного профиля определяются следующими зависимостями:

σω = Bω·ωIω,τk = Мk·ρIαδ,τω = Мω·SωIω·δ,         Форм. 8

где:

  • Bω — изгибно-крутящий бимомент, кг/см²;
  • ω

    — главная секториальная координата (единичная депланация), см²;

  • ρ — приведенный радиус одноконтурного профиля, см²;
  • Sω

    — главный секториальный статический момент, см4;

  • Ia — момент инерции свободного кручения, см4;
  • Iω — секториальный момент инерции, см4;
  • δ — толщина стенки профиля, см;
  • Мк, Мω, Вω — силовые факторы; они зависят от характера внешней скручивающей нагрузки и граничных условий на концах стержня (корпуса дока);
  • ω, ρ, Sω, Iα, Iω

    — геометрические характеристики профиля стержня (поперечного сечения корпуса).

Дифференциальные зависимости стесненного кручения

Как следует из теории стесненного кручения, общие выражения для Мк, Мω, Вω имеют вид

Мk = GIαθ;

Bω = EIωμθ+EIωμGIcm   Bω = Мk R2+EIωμGIcm;         Форм. 9

Мω = EIωμθ′″+EIωμGIcm   Мω = Bω ,

где:

  • θ

    — угол закручивания стержня (

    θ = dθdz

    — интенсивность угла закручивания);

  • μ = 1IαIc

    — коэффициент депланации;

  • Iс — направленный момент инерции;
  • m = dМzdz

    — интенсивность внешнего крутящего момента;

  • R = μGIαEIω

    — изгибно-крутильная характеристика.

Общее выражение

θ

и ее производных определяется интегрированием дифференциального уравнения стесненного кручения

θIVR2θ = μmEIω+mGIc.         Форм. 10

При решении дифференциального уравнения стесненного кручения для плавающей балки принимаются следующие граничные условия:

  1. при z = 0 и z = L (оконечности дока) стеснение отсутствует (депланация свободна), угол поворота не равен нулю;
  2. при

    z = L2

    (мидель-шпангоут дока) депланация свободна, угол поворота равен нулю.

В табл. 3 и 4 представлены окончательные выражения Мк, Мω, Вω,

θ

для двух видов распределения внешнего крутящего момента: по линейному закону и косинусоиде. Тот и другой вид распределения момента с достаточной степенью точности могут заменять реальное распределение крутящего момента.

Общий порядок расчета

На первом этапе расчета определяются координаты центра кручения, относительно которого происходит поворот сечений при скручивании:

аx = ωy dFIx;   аy = ωx dFIy.         Форм. 11

Таблица 3. Выражения

θ; Bω; Мk и Мω

при линейном Mz

ВеличинаХарактер эпюрУравнения ординат эпюрМаксимум ординат
MzМz = ml2z; m = 2МmaxlМz max = ml2при z = 0
θθ = mR2GIαR2zl2z2μ1ch Rl4zchRl4θmax = ml28GIαпри z = l2
BωBω = μmR21ch Rl4zchRl4Bω max = μmR2chRl41chRl4при z = l4
MkМk = mRRl2zμsh Rl4zchRl4Мk max = mRRl2μ thRl4при z = 0
МωМω = μmR·sh Rl4zchRl4Мω max = μmR thRl4при z = 0

Таблица 4. Выражения

θ; Bω; Мk и Мω

при косинусоидальном Mz

ВеличинаХарактер эпюрУравнения ординат эпюрМаксимум ординат
MzМz = Мmax·cosπ·z2lМz = Мmaxпри z = 0
θθ = Nπ24l2·sh RzR2 sh Rl+sinπz2lπ2l·МmaxGlc·sh RzR2 sh Rlθ = Nπ24l2·1R2+1π2l·МmaxGlc·1R2при z = l
BωBω = EIωμsh Rzsh Rlsinπz2l××Nπ34l2МmaxGIcπ2lBω = EIω2μ1chRl22××Nπ34l2МmaxGIcπ2lпри z = l2
MkМk = GIαNπ24l2sh RzR sh Rl+2lπcosπz2lπ2l·МmaxGIc·ch RzR sh RlМk = GIα·π2l××NМmaxGIc·1R sh Rlпри z = 0
МωМω = EIωμNπ24l2МmaxπGIc2l××R ch Rzsh Rlcosπz2l·π2lМω = EIωμ·π2l××Nπ2lМmaxGIc××Rsh Rlπ2lпри z = 0
N = Мmaxπ38l3+R2π2l·1GIcπ24l2+μEIω.

Для симметричного относительно диаметральной плоскости сечения дока ах = 0. Значение аy определяется методом последовательных приближений. Главные секториальные координаты

ω

первого приближения рекомендуется определять относительно центра тяжести сечения. Расчеты

ω

последующего приближения производят относительно положения центра кручения, полученного в предыдущем приближении.

Предлагается к прочтению: Учет динамических факторов при определении дополнительных продольных усилий на волнении

Процесс последовательных приближений сходится достаточно быстро и два-три приближения дают практически приемлемый результат. Главная секториальная координата последнего приближения является окончательным ее значением, все остальные секториальные характеристики определяются относительно центра кручения.

Интегралы типа

 ωx dF

вычисляются по правилу Верещагина. С целью упрощения расчетов рекомендуется многосвязный контур поперечного сечения дока заменять двухсвязным (одноконтурным), «размазывая» внутренние продольные переборки понтона и палубу безопасности в башне по внешним стенкам контура профиля. Можно также, делая ошибку в безопасную сторону, вообще пренебречь наличием внутренних конструкций, увеличивающих статическую неопределенность контура профиля.

Поперечное сечение
Рис. 6 Эскиз поперечного сечения дока

Момент инерции сечения:

Ix = 617·106 см4;   12 Iy = 731·106 см4.

В дальнейшем определение наиболее специфических характеристик будет поясняться численными расчетами применительно к схеме поперечного сечения дока, изображенной на рис. 6 (пунктиром показаны неучитываемые внутренние конструкции).

Вычисление геометрических характеристик, необходимых для определения σω

1.

Определение главной секториальной координаты

ω

для одноконтурного сечения.

ω = ωρS,         Форм. 12

где:

  • ω — секториальная координата точки сечения:

ω =  r ds.        Форм. 13

Этот интеграл берется от определенной начальной точки. За положительное направление обхода принимается направление против движения часовой стрелки. Для сечения, составленного из отрезков прямых,

ω = n risi,         Форм. 14

где:

  • ri — длина перпендикуляра, опущенного из полюса на прямолинейный участок контура;
  • si — длина прямолинейного участка контура;
  • S

    — приведенная координата точки сечения:

S = dSδ,          Форм. 15

или, для случая прямолинейных участков,

S = siδi,          Форм. 16

При распространении интеграла (или суммы) на весь периметр сечения

S

становится приведенным периметром контура. Так для контура на рис. 6

S = 21302,0+9400,7+14001,0+3901,0+24700,7+5900,7 = 7630;

где:

  • δi — толщина прямолинейного участка контура;
  • ρ — приведенный радиус одноконтурного профиля

ρ = Ωs,

где:

  • Ω удвоенная площадь, ограниченная контуром поперечного сечения дока.

Для поперечного сечения, изображенного на рис. 6,

Ω = 22·130·940+90·1140+290·375 = 911·103, см2

ρ = 911·1037630 = 119 см2.

В процессе определения

ω

рекомендуется построить эпюры

r, ω = rs, S, ρS, ω = ωρS

.

На рис. 7 за «полюс» принят центр тяжести сечения (эпюра r всегда положительна).

Эпюра
Рис. 7 Эпюра r (см)

На рис. 8 за начальную точку отсчета принята точка 0. Полюс радиуса-вектора принят в центре тяжести. Знак эпюры со определяется направлением вращения радиуса-вектора: «плюс» — против часовой стрелки.

Эпюра
Рис. 8 Эпюра ω =  rs см2

Вычисление ординат эпюры:

ω01 = r01·S0.1 = 286·196557·102;ω12 = ω01+r12·S12 = 557·102340·470 = 2157·102;ω23 = ω12+r23·S23 = 2157·102570·590 = 5517·102 и т.д.

Проверка правильности построения эпюры: ордината эпюры в точке 6 должна быть равна

ω6 = Ω2.

Эпюра
Рис. 9 Эпюра S

Вычисление ординат эпюры:

S01 = S01δ01 = 1951,0 = 195;S12 = S01+S12δ12 = 195+4700,7 = 867;S23 = S12+S23δ23 = 867+5900,7 = 1710 и т.д.

На рис. 9 за начальную точку отсчета также принимается точка 0.

Эпюра
Рис. 10 Эпюра ρS (см2)

Вычисление ординат эпюры:

ρS01 = 119·195 = 23,2·103;ρS23 = 119·1710 = 204·103 и т. д.

2. Определение ω xdF

.

Вычисление этого интеграла производится по правилу Верещагина, которое для функций с прямолинейными эпюрами формулируется так: чтобы про­интегрировать произведение двух функций, необходимо площадь эпюры одной из функций умножить на ординату эпюры другой функции, взятую под центром тяжести площади первой эпюры (рис. 12).

Эпюра
Рис. 11 Эпюра ω = ωρS (см2)

Вычисление ординат эпюры:

ω01 = ω01ρS01 = 557·102232×102 = 789·102;ω12 = ω12ρS12 =2157·1021030×102 = 3187·102;ω23 = ω23ρS23 = 5517·1022040×102 = 7557·102 и т. д.;

В табл. 5 даны формулы метода Верещагина для различных сочетаний прямолинейных эпюр подынтегральных функций.

Перемещение эпюр
Рис. 12 Перемещение эпюр по правилу Верещагина

Таким образом, для вычисления искомого интеграла, кроме уже построенной эпюры

ω

, следует построить эпюру

x

(рис. 13). Интеграл

ωx dF

, представленный в виде

δiωx ds

, вычисляется в форме табл. 6.

Эпюра
Рис. 13 Эпюра х

3. Определение ay = ωx dFIy

.

Для определения

ay

необходимо предварительно вычислить момент инерции корпуса дока относительно вертикальной оси Iу. После определения

ay

в первом приближении (для рассматриваемого примера

ay1 = 4861·108731·106 = 667 см

) вновь определяется

ω

(снова определяются и строятся эпюры r, ω = rs относительно полученного центра кручения

ay1

— значения ρs остаются прежними). Истинное положение центра кручения должно соответствовать условию ау = 0.

Таблица 5. Значения интегралов 0Mα·Mb·dx
Эпюра МbЭпюра Ма
αcl12αcl12αcl12αc+dl12αldl
12αcl13αcl16αcl1+xl16α2c+dl16α2cdl
12αcl16αcl16αcl1+xl16αc+2dl16αc2dl
12αcl16αcl1+xl13αcl16αc1+xl++d1+xll16αc1+xld1+xll
12αcl14αcl12αclxl22x23l14αc+dd14αcdl
12cα+bl16c2α+bl16cα1+xl++b1+xll16c2α+b++d2b+αl16c2α+bd2b+αl
12cαbl16c2αbl16cα1+xlb1+xll16c2αbd2bαl16c2αb++d2bαl
016αbl13αcx16αcdl16αc+dl
0lМαМb = 13αcl0lМαМb = 13αcl

Таблица 6. Расчет выражения  δ  ωx ds
СтерженьДлина см ω1, см2x1, смФормула ωx dlδi  ωx dl, см5δi, мм
0-119513ω1x1l = = 13789·102××195·19510·10810·10810
1-247016ω22x2+x1++ω12x1+x2l = = 163187·102××1140195789·102390××570·470393·108275·1087
2-359012x2ω2+ω3l = 12570××(3187·1027557·102) 5901470·1081055·1087
3-413016ω32x3+x4++ω42x4+x3l = = 167557·102××11407006869·102××1400570130395·1081190·10820
4-594012x4ω4+ω5l = 12700××(6869·1021909·102) 9402890·1082020·1087
5-670013ω5x5l = = 131909·102××700700311·108311·10810
4861·108

Это условие является критерием окончания процесса последовательных приближений при определении положения центра кручения. Практически процесс приближения можно останавливать при значениях ау

, близких к нулю, когда значения главных секториальных координат

ω

в последнем приближении мало отличаются от их значений в предыдущем приближении.

Определение геометрических характеристик, необходимых для определения τк, τω

1. Определение главного секториального статического момента

Sω

:

Sω = pSω,         Форм. 17

где:

  • p

    — единичный поток касательных усилий;

  • Sω

    — секториальный статический момент точки контура поперечного сечения, равный

Sω = 0sω dF = δi 0sω ds          Форм. 18

  • (интеграл распространяется от начала отсчета до рассматриваемой точки n).

Для прямолинейной эпюры

ω

на прямолинейных участках контура выражение

Sω

будет иметь вид

Sω = δiωн+ωк2·si+f,        Форм. 19

где:

  • ωн, ωк

    — главные секториальные координаты начала и конца рассматриваемого участка контура;

  • δi — толщина участка;
  • Si — длина участка;
  • f — поправка на криволинейность эпюры

    Sω

    ;

f = ωнωк8si.        Форм. 20

Вычислять значения

Sω

рекомендуется в форме табл. 7. При построении эпюры

Sω

(рис. 14) рекомендуется определить значение статического момента для точки А, расположенной по середине высоты сечения, т. е. для точки максимальных изгибно-крутильных касательных напряжений τω (рис. 18).

Эпюра
Рис. 14 Эпюра Sω (см 4)

Вычисление ординат эпюры:

Sω01 = 556·104;Sω12 = Sω01 +2180·104 = 2736·104;Sω23  = Sω12 5920·104 = 3184×104 и т. д.

Единичный поток касательных усилий

p

определяется из равенства

S p = SωdS,         Форм. 21

где:

  • S

    — приведенный периметр контура сечения (см. выше);

  • SωdS

    — приведенная площадь эпюры секториальных статических моментов.

Таблица 7. Расчет Sω
СтерженьЭпюры ωiВычисление по участкам
Sω = δωн+ωk2·s;     f = δωнωk8·s
Эпюра Sω

по участкам

0-1Sω01 = 120+570·102·195·1,0 = 556·104f01 = 1,080570·102·195 = 139·104
1-2Sω12 = 12570·102+757·102·470·0,7 = 2180·104f12 = 0,78570·102757·102·470 = 77·104
2-3Sω23 = 12757·1023613·102·590·0,7 = 5920·104f23 = 0,78757·102+3613·102·590 = 2260·104
3-4Sω34 = 123613·1022018·102·130·2,0 = 7310·104f34 = 2,083613·102+2018·102·130 = 518·104
4-5Sω45 = 122018·102+2932·102·940·0,7 = 3000·104f45 = 0,782018·1022932·102·940 = 4070·104
5-6Sω56 = 122932·102+0·700·1,0 = 10 250·104f56 = 1,082932·1020·700 = 2570·104

Примечание. Приведенные в таблице эпюры

ωi

являются результатом окончательного приближения.
промежуточные расчеты в примере не приводятся.

Интегральное выражение приведенной площади эпюры секториальных статических моментов для прямолинейных участков контура можно представить в следующем виде:

SωdS = siδiSнω+Skω2+23f,          Форм. 22

  • Sнω, Skω

    — ординаты эпюры Sω в начале и конце рассматриваемого участка.

Вычисление ординаты
Рис. 15 К вычислению ординаты Sω

в точке А

SωА = Sω4+Sω52+f45= 10494·1047494·10424070×104 = 13060·104, см4.

Вычисления по формуле (Формула 22) рекомендуется вести в форме табл. 8.

Таким образом,

p = 2s = 2·14·113·1077830 = 374×105 см

для всего контура. Теперь можно подсчитать ординаты и построить эпюру

Sω

(рис. 16).

Эпюра
Рис. 16 Эпюра Sω см4

Вычисление ординат эпюры:

Sω01 = pSω01 = 3740·104556·104 = 4296·104;Sω23 =  pSω23 = 3740·104+3184·104 = 556·104 и т. д.

2. Определение моментов инерции Ia, Ic, Iω. Момент инерции свободного кручения для одноконтурного сечения определяется следующим образом:

Iα = Ω2S.         Форм. 23

Таблица 8. Расчет  Sω dS
СтерженьsδSнω+Skω2+23fРезультат
0-11951,00+556·1042+23139·10436·107
1-24700,7556·104+2736·1042+2377·1041070·107
2-35900,72736·1043184·1042+232260·1041455·107
3-41302,03184·10410 494·1042+23518·104-467·107
4-59400,710 494·1047491·1042+234070·104-15 750·107
5-67001,07494·104+2756·1042+232570·104-457·107
 = 14 113·107

Имея в виду, что

ρ = ΩS

можно написать:

Iα = Ω·ρ;   Iα = 911·103·119 = 1083·105, см4.

Направленный момент инерции определяется выражением

Ic  =  r2 dF,        Форм. 24

или, для случая прямолинейных участков сечения с постоянной эпюрой r на отдельных участках,

Ic  = δi r2 ds = δiri2si,         Форм. 25

  • где знак суммы распространяется на все участки контура поперечного сечения (r отсчитывается от центра кручения).

Вычислять Ic рекомендуется в форме табл. 9.

Если сумма распространена на половину симметричного сечения, то

Ic  = 2  = 2·10 041·105 = 20 082·105, см4.

Секториальный момент инерции Iω имеет следующее выражение:

Iω = ω2 dF,         Форм. 26

или

Iω = δi ω2 ds.          Форм. 27

Интеграл

 ω2 ds

вычисляется по правилу Верещагина перемножением эпюры

ω

самой на себя. Вычислять интеграл удобно в форме табл. 10. Если сумма распространена на половину симметричного сечения, то

Iω = 2 = 2·7194·1010 = 144·1012, см6.

Таблица 9. Расчет Ic
Стерженьsi, смδi, смri, смri2, см2si·ri2, см3δi si ri2, см4
0-11951,0412168·103328·105328·105
1-24700,721044,2·103208·105146·105
2-35900,7570325·1031920·1051340·105
3-41302,012821645·1032140·1054280·105
4-59400,7700490·1034600·1053220·105
5-67001,0322104·103727·105727·105
 = 10 041·105
Примечание. Значения ri в таблице соответствуют окончательному положению центра кручения.
Промежуточные вычисления не приводятся.

Вычисление напряжений

После определения всех геометрических характеристик вычисляют напряжения. Максимальные значения Вω, Мк, Мω, в зависимости от принятого вида распределения внешнего крутящего момента, вычисляют по формулам, приведенным в табл. 3 и 4. Bω max возникает на ¼ L, а Мω max и Мк max — на миделе дока.

Подставляя значения Вω, Мω, Мк в выражения для напряжений, представим последние в виде

σω = β1ω в примере σω = 74·105·ω;τω = β2Sωδ в примере τω = 55·103Sωδ;τk = β31δ в примере τk = 260·1δ,

где:

  • β1, β2, β3 — численные значения выражений

β1 = BωIω, β2 = MωIω, β3 = MkρIα.

Таблица 10. Расчет Iω
Стерженьωi, см2δ, смВычисленияωi2·si, см5ωi2·si·δ, см6
0-11,013 ω12l = = 13570·1022 19521·101021·1010
1-20,713ω12+ω1ω2+ω22l == 13570·1022+570·102757·102++757·1022·470176·1010123·1010
2-30,713ω22+ω2ω3+ω32l == 13757·1022+757·1023613·102++3613·102·5902080·10101460·1010
3-42,013ω32+ω3·ω4+ω42l == 133613·1022+3613·102××2018·102+2018·10221301055·10102110·1010
4-50,713ω42+ω4ω5+ω52l == 132018·1022+2018·102××2932·102+2932·10229402110·10101480·1010
5-61,013ω52·l =132932·1022 7002000·10102000·1010
 7194·1010

Примечание.

ωi

— результат окончательного приближения.

Такое выражение напряжений в функции от геометрических характеристик позволяет вычислить ординаты и построить эпюры напряжений (рис. 17—20).

Эпюра
Рис. 17 Эпюра σω кг/см2

Вычисление ординат эпюры:

σω01 = βωIω·ω01 = 74·105·570×102 = 40;σω12 = β1·ω12 = 74·105·757·102 = 60;σω23 =β1·ω23 = 74·1053613·102 = 270 и т. д. 

Полученные нормальные напряжения от скручивания следует просуммировать с нормальными напряжениями от изгиба на соответствующем «косом курсе». Касательные напряжения от скручивания суммируются с касательными напряжениями от изгиба.

Рекомендуется к прочтению: Взаимодействие плавучего дока и судна: усилия между ними и моменты изгиба

При ориентировочных расчетах суммарную величину касательных напряжений от скручивания можно определить как для свободного кручения одноконтурного сечения по формуле Бредта:

τ = M zΩδ.          Форм. 28

Порядок расчета напряжений при поперечном скручивании тот же, что и при продольном. Представляя продольные сечения дока в виде симметричных прямоугольников и пренебрегая (с ошибкой в безопасную сторону) наличием поперечных переборок (рис. 21), можно добиться значительных упрощений. Так, для продольного сечения, показанного на рис. 21, а, формулы основных геометрических характеристик будут иметь вид:

Ω = 2lh;         Форм. 29

S = dsδ = 2lδп+hδт;         Форм. 30

ρ = ΩS = lhlδп+hδт;         Форм. 31

Iα = Ω2S = 2l2h2lδп+nδт;   Ic = F r2 dF = lh2lδт+hδп;         Форм. 32

Iω = F ω2 dF = l2h224 lδтhδп2lδп+hδтlδт+hδп2,       Форм. 33

где:

  • δп = δст.п+δдн2

    — средняя толщина днища и стапель-палубы понтона;

  • δт — толщина торцовых стенок понтона;
  • l, h — длина и высота понтона.

Характер изменения

ω, Sω, Sω

показан на рис. 21, в, г, д.

Эпюра
Рис. 18 Эпюра τω кг/см2

Вычисление ординат эпюры:

τω0 = MωSω01Iωδ01 = β2 Sωδ = 55·1083740·1041,0 = 20;τω01 = β2 Sωδ01 = 55·1084296·1041,0 = 25;τω12 = β2 Sωδ = 55·1086476·1040,7 = 50 кг/см2 и т. д.

Выражения для ординат эпюр

ω, Sω, Sω

в точках 0, 1, 2 имеют следующий вид2:

ω0 = ω2 = 0;ω1 = lh24lδтhδпlδт+hδп;Sω0 = lh16lδтhδпlδп+hδтlδтhδп;Sω1 = lh16lδтhδпδтlδт+hδп;Sω2 = 0;Sω0 = lh48lδтhδп2lδп+hδтlδт+hδп;Sω1 = lh48lδтhδпlδпhδтlδт+hδп;Sω2 = lh48lδтhδпlδп+2hδтlδт+hδп.

Эпюра
Рис. 19 Эпюра τкр кг/см2

Вычисление ординат эпюры:

τкр0 = МкрρIα·1δ01 = β31δ01 = 26011,0 = 260;τкр01= β31δ01 = 26011,0 = 260;τкр12= β31δ12 = 26010,7 = 370 и т. д.

2Выражения получены на основании общих формул; промежуточные выкладки (ввиду их простоты) не приводятся.

Эпюра
Рис. 20 Эпюра τкр+τω кг/см2

Вычисление ординат эпюры:

τ0 = τкр0+τω0 = 26020 = 240;τ1 = τкр01+τω01 = 26025 = 235;τ1 = τкр12+τω12 = 37025 = 345 и т. д.

Выражения

Bω; Mк; Mω; θ

(как и для продольного скручивания) могут быть приняты по табл. 3, 43. В этом случае длина скручиваемого плавающего стержня равна ширине дока.

Расчет поперечного скручивания

Рис. 21 К расчету поперечного скручивания: а — эскиз продольного сечения; пунктиром показаны поперечные переборки, наличие которых в расчете не учитывается; б — эпюра r; в — эпюра

ω

; г — эпюра

Sω

; д — эпюра

Sω

3При этом допускается ошибка в безопасную сторону, так как не учитывается непризматичность понтона в поперечном направлении.

Сноски
Sea-Man

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Май, 08, 2020 78 0
Читайте также