Определение продольного крутящего момента плавучего дока

Присоединяйтесь к нашему ТГ каналу!

Определение продольного крутящего момента, как и поперечного, подразумевает выполнение расчетов, а также заполнение технической карты. Если расчеты выполнены неверное, и карта заполнена ошибочными данными – это может привести печальным последствиям.

СодержаниеСвернуть

Общая характеристика скручивания корпуса дока
Определение продольного крутящего момента от несимметричной загрузки дока
Определение поперечного крутящего момента от несимметричной загрузки дока
Определение продольного крутящего момента при статической постановке на «косую волну»
Учет динамических факторов
Определение поперечного крутящего момента при статической постановке на «косую волну»
Определение напряжений при продольном скручивании
Дифференциальные зависимости стесненного кручения
Общий порядок расчета
Вычисление геометрических характеристик, необходимых для определения σ_ω
Определение геометрических характеристик, необходимых для определения τ_к, τ_ω
Вычисление напряжений

Общая характеристика скручивания корпуса дока

Наличие дополнительных нормальных напряжений от скручивания у транспортных доков, корпуса которых проектируют максимально облегченными, может привести к нарушению условий прочности. Важное значение приобретает расчет прочности на скручивание для ремонтных доков при перегоне морем.

Скручивание относительно продольной оси дока (в дальнейшем будем называть его «продольным») вызывает взаимный поворот и депланацию поперечных сечений. Скручивание относительно поперечной оси («поперечное скручивание») вызывает аналогичные взаимные деформации продольных сечений дока.

Определение продольного крутящего момента от несимметричной загрузки дока

При одновременном (несимметричном) доковании двух или нескольких судов в корпусе дока возникает скручивающий момент. Соответствующей балластировкой док всегда может быть выровнен на ровный киль. В этом случае продольный крутящий момент в каком-либо сечении дока определяется как алгебраическая сумма кренящих моментов, приложенных с одной стороны рассматриваемого сечения. Эпюра крутящих моментов может быть определена как интегральная кривая от кривой распределенных по длине кренящих моментов (рис. 1).

При крене дока, т. е. когда принятый на стапель-палубу несимметричный груз не уравновешен, для определения крутящего момента следует просуммировать эпюры кренящих моментов от грузов с эпюрой распределенных восстанавливающих моментов сил поддержания и проинтегрировать суммарную эпюру (рис. 2).

Определение поперечного крутящего момента от несимметричной загрузки дока

При несимметричном доковании судов, кроме продольного скручивания, возникает также поперечное скручивание корпуса дока.

Рис. 2 Схема расчета крутящего момента с учетом крена: а — эпюра кренящих моментов М_крен; б — эпюра крутящих моментов М_кр. 1, 2 — эпюры кренящих моментов от судов; 3 — эпюра восстанавливающего кренящего момента от сил поддержания

Поперечный крутящий момент в любом продольном сечении определяется как алгебраическая сумма дифферентующих моментов, приложенных с одной стороны рассматриваемого сечения. Эпюра крутящих моментов есть интегральная кривая от кривой распределенных по ширине дока дифферентующих моментов (рис. 3).

Рис. 3 Поперечное скручивание корпуса дока при несимметричном доковании двух судов: а — схема несимметричного докования; б — эпюра дифферентующих моментов; в — эпюра крутящих моментов

При наличии неуравновешенного дифферента следует учитывать восстанавливающий момент сил поддержания.

Определение продольного крутящего момента при статической постановке на «косую волну»

Вопросу определения М_кр при статической постановке судна на «косую волну» посвящены работы Ю. А. Шиманского, В. В. Давыдова, А. А. Курдюмова, А. И. Максимаджи и Н. Н. Руднева, а также других авторов.

Наиболее удобная формула приближенного определения крутящего момента на миделе приведена в книге В. В. Давыдова в форме

$М_{к р}^{⦻} = R γ r B^{2} L, Ф о р м . 1$

где:

γ — объемный вес воды;
r — полувысота расчетной волны;
B, L — ширина и длина дока;
$R (\frac{L}{λ}; \frac{L}{B})$
— коэффициент, значения которого даны в табл. 1;
λ — длина волны.

Таблица 1. Значения коэффициента R
$\frac{L}{λ}$	1			2			3			4			5			6			7
$\frac{L}{B}$	6	8	10	6	8	10	6	8	10	6	8	10	6	8	10	6	8	10	6	8	10
$R \cdot 10^{- 3}$	24	18	15	51	41	35	72	60	50	78	72	63	74	78	74	58	76	77	36	68	77

Максимальный крутящий момент определяется по формуле (Формула 1) для нескольких значений $\frac{L}{λ}$

(в пределах $о т \frac{1}{3} д о \frac{1}{4}$

Курсовой угол ψ, соответствующий неблагоприятному $\frac{λ}{L}$

, находится как

$ψ \approx a r c \cos \frac{λ}{L} .$

Определим максимальный крутящий момент на миделе дока с размерами L = 120 м; B = 20 м.

Для $λ = L и 2 r = \frac{λ}{30} + 2 = 6 м$

имеем

$М_{к р}^{⦻} = R γ r B^{2} L = 0, 024 \cdot 3, 0 \cdot 20^{2} \cdot 120 = 3450 т м .$

Для других элементов волны получим:

Значения элементов волны
$L : λ$	$λ (м)$	$2 r (м)$	$М_{к р}^{⦻} (т м)$
2	60	4	4 900
3	40	3,33	5 760
4	30	3,0	5 600
5	24	2,8	5 000

Как видно из примера, наибольший крутящий момент возникает при $λ \approx \frac{1}{3} L$

, при этом неблагоприятный курсовой угол равен

$ψ \approx a r c \cos \frac{1}{3} = 70 ° .$

Обобщенное выражение для $М_{к р}^{⦻}$

может быть представлено в следующем виде (см. Кильблоки, клетки, упорыКонструкции и проектирование корпусов плавучих доков):

$М_{к р}^{⦻} = \frac{1}{10} γ r B^{3} t g ψ [1 - \frac{π^{2}}{10} {(\frac{B}{λ})}^{2} \sin^{2} ψ] \times [1 - \cos (π \frac{L}{λ} \cos ψ)], Ф о р м . 2$

где значения величин γ, r, λ, В, ψ объяснены выше.

По этой формуле максимальное значение крутящего момента также определяется из расчета для нескольких значений $\frac{λ}{L}$

Учет динамических факторов

Приведенные выше формулы носят теоретический характер. Как показал эксперимент, проведенный кафедрой строительной механики корабля ЛКИ (см. Система набора плавучих доковКонструкции и проектирование корпусов плавучих доков), реальная величина крутящего момента значительно ниже подсчитанного по теоретическим формулам. Это объясняется влиянием динамических факторов, сопровождающих процесс волнения.

Динамические крутящие моменты для доков с $\frac{L}{B}$

могут быть определены по формуле

$М \frac{д и н}{к р} = \frac{γ r B^{2} L}{1 000} K д и н . Ф о р м . 3$

Значения К_дин, полученные экспериментальным путем, приведены в табл. 2.

Таблица 2. Значение коэффициента K_дин
$\frac{λ}{L}$	0,53				0,63				0,70				0,965				1,07		1,22
$ψ, г р а д .$	30	45	60	75	30	45	60	75	30	45	60	75	30	45	60	75	30	45	30	45	60	75
K_дин	1,8	3,6	7,6	14,3	4,42	9,3	15,8	16,5	11,7	14,3	20,4	15,1	18	23	22	13,9	16,2	16,6	10,8	13,5	12,8	10,8

Динамический крутящий момент можно также определить по формуле

$М \frac{д и н}{к р} = М_{к р} \cdot K_{1} \cdot K_{2}, Ф о р м . 4$

где:

М_кр — статический крутящий момент, определяемый по формулам (Формула 1)—(Формула 2);
$K_{1} = 1 - \frac{2 π Т}{λ}$
— коэффициент, учитывающий эффект Смита;
$K_{2} = (1 - φ)$
— коэффициент, учитывающий дифракцию волн новой поверхности.

Для доков

$\frac{L}{B} \approx 4, 5 φ = 1, 81 \frac{K_{0} Т - 0, 081}{1 - K_{0} Т},$

где

$K_{0} Т = \frac{2 π Т}{λ};$

Т — осадка дока;
λ — длина расчетной волны.

Определение поперечного крутящего момента при статической постановке на «косую волну»

Поперечный крутящий момент в диаметральной плоскости дока при статической постановке на волну можно определить по следующей формуле¹:

Формула (в несколько измененном виде) заимствована из статьи Расчет прочности ферм башенРасчеты местной прочности металлических плавучих доков.

$М_{к р} = γ π \cdot n \frac{L^{2} B^{2}}{8} \sin ψ \cdot f_{k} (u) \cdot φ_{k} (v), Ф о р м . 5$

где

$n = \frac{h}{λ}$
— отношение высоты к длине волны;
$u = π \frac{L}{λ} \cos ψ$
— аргумент функции $f_{k} (u)$
;
$v = π \frac{L}{λ} \frac{B}{L} \sin ψ$
— аргумент функции φ_k (v).

Графики функций $f_{k} (u)$

и φ_k (v) приведены на рис. 4 и 5.

Максимальное значение поперечного крутящего момента определяется по формуле (Формула 4) для определенного диапазона $\frac{L}{λ}$

и ψ. Расчеты удобно вести в табличной форме.

Специальных исследований о влиянии динамических факторов на величину поперечного крутящего момента не велось, но, очевидно, что это влияние будет таким же, как при продольном скручивании.

Определение напряжений при продольном скручивании

Теория стесненного скручивания тонкостенных стержней замкнутого недеформируемого профиля разработана в 1939—1940 гг. проф. А. А. Уманским применительно к авиаконструкциям. Читатели, интересующиеся основами теории стесненного кручения, могут обратиться к трудам и других авторов. Ниже изложена схема расчета стесненного кручения, основанная на теории A. А. Уманского (см. выше “Определение поперечного крутящего момента от несимметричной загрузки дока”).

Внешний крутящий момент М_z вызывает стесненное скручивание корпуса. Крутящий момент уравновешивается системой внутренних касательных напряжений τ_k и τ_ω, где τ_k — касательные напряжения чистого кручения; τ_ω — секториальные касательные напряжения.

Если представить внешний крутящий момент как

$М_{z} = М_{k} + М_{ω}, Ф о р м . 6$

где:

М_k — момент чистого кручения;
М_ω — изгибно-крутящий момент,

то напряжения τ_k уравновешивают М_k:

$\sum М_{(τ_{k})} = М_{k},$

а напряжения τ_ω уравновешивают М_ω:

$\sum М_{(τ_{ω})} = М_{ω} .$

Суммарное значение касательных напряжений

$τ = τ_{k} + τ_{ω} . Ф о р м . 7$

Кроме касательных напряжений при стесненном кручении в результате депланации сечений возникает взаимно уравновешенная система так называемых секториальных нормальных напряжений σ_ω. Касательные и нормальные напряжения для одноконтурного профиля определяются следующими зависимостями:

$\begin{array}{r} \begin{matrix} σ_{ω} = \frac{B_{ω} \cdot ω}{I_{ω}}, \\ τ_{k} = \frac{М_{k} \cdot ρ}{I_{α} δ}, \end{matrix} \\ τ_{ω} = \frac{М_{ω} \cdot S ω}{I_{ω} \cdot δ}, \end{array} Ф о р м . 8$

где:

B_ω — изгибно-крутящий бимомент, кг/см²;
$ω$
— главная секториальная координата (единичная депланация), см²;
ρ — приведенный радиус одноконтурного профиля, см²;
$S_{ω}$
— главный секториальный статический момент, см⁴;
I_a — момент инерции свободного кручения, см⁴;
I_ω — секториальный момент инерции, см⁴;
δ — толщина стенки профиля, см;
М_к, М_ω, В_ω — силовые факторы; они зависят от характера внешней скручивающей нагрузки и граничных условий на концах стержня (корпуса дока);
$ω, ρ, S_{ω}, I_{α}, I_{ω}$
— геометрические характеристики профиля стержня (поперечного сечения корпуса).

Дифференциальные зависимости стесненного кручения

Как следует из теории стесненного кручения, общие выражения для М_к, М_ω, В_ω имеют вид

$М_{k} = G I_{α} θ';$

$B_{ω} = - \frac{E I_{ω}}{μ} θ ″ + \frac{E I_{ω}}{μ G I_{c}} m (B_{ω} = - \frac{М_{k}^{'}}{R^{2}} + \frac{E I_{ω}}{μ G I_{c}} m); Ф о р м . 9$

$М_{ω} = - \frac{E I_{ω}}{μ} θ'″ + \frac{E I_{ω}}{μ G I_{c}} m' (М_{ω} = B_{ω}^{'}),$

где:

$θ$
— угол закручивания стержня (
$θ' = \frac{d θ}{d z}$
— интенсивность угла закручивания);
$μ = 1 - \frac{I_{α}}{I_{c}}$
— коэффициент депланации;
I_с — направленный момент инерции;
$m = \frac{d М_{z}}{d_{z}}$
— интенсивность внешнего крутящего момента;
$R = \sqrt{\frac{μ G I_{α}}{E I_{ω}}}$
— изгибно-крутильная характеристика.

Общее выражение $θ$

и ее производных определяется интегрированием дифференциального уравнения стесненного кручения

$θ^{I V} - R^{2} θ ″ = μ \frac{m}{E I_{ω}} + \frac{m ″}{G I_{c}} . Ф о р м . 10$

При решении дифференциального уравнения стесненного кручения для плавающей балки принимаются следующие граничные условия:

при z = 0 и z = L (оконечности дока) стеснение отсутствует (депланация свободна), угол поворота не равен нулю;
при $z = \frac{L}{2}$
(мидель-шпангоут дока) депланация свободна, угол поворота равен нулю.

В табл. 3 и 4 представлены окончательные выражения М_к, М_ω, В_ω, $θ$

для двух видов распределения внешнего крутящего момента: по линейному закону и косинусоиде. Тот и другой вид распределения момента с достаточной степенью точности могут заменять реальное распределение крутящего момента.

Общий порядок расчета

На первом этапе расчета определяются координаты центра кручения, относительно которого происходит поворот сечений при скручивании:

$а_{x} = \frac{\oint ω y d F}{I_{x}}; а_{y} = - \frac{\oint ω x d F}{I_{y}} . Ф о р м . 11$

Таблица 3. Выражения $θ; B_{ω}; М_{k} и М_{ω}$ при линейном M_z
Величина	Характер эпюр	Уравнения ординат эпюр	Максимум ординат
M_z		$М_{z} = m (\frac{l}{2} - z); m = \frac{2 М_{m a x}}{l}$	$\begin{matrix} М_{z m a x} = m \frac{l}{2} \\ п р и z = 0 \end{matrix}$
$θ$		$\begin{matrix} \begin{matrix} θ = \frac{m}{R^{2} G I α} \{R^{2} z (\frac{l}{2} - \frac{z}{2}) - \\ - μ [1 - \frac{c h R (\frac{l}{4} - z)}{c h \frac{R l}{4}}]\} \end{matrix} \end{matrix}$	$\begin{matrix} θ_{m a x} = \frac{m l^{2}}{8 G I α} \\ п р и z = \frac{l}{2} \end{matrix}$
$B_{ω}$		$B_{ω} = \frac{μ m}{R^{2}} [1 - \frac{c h R (\frac{l}{4} - z)}{c h \frac{R l}{4}}]$	$\begin{matrix} B_{ω m a x} = \frac{μ m}{R^{2}} \frac{c h \frac{R l}{4} - 1}{c h \frac{R l}{4}} \\ п р и z = \frac{l}{4} \end{matrix}$
M_k		$М_{k} = \frac{m}{R} [R (\frac{l}{2} - z) - μ \frac{s h R (\frac{l}{4} - z)}{c h \frac{R l}{4}}]$	$\begin{matrix} М_{k m a x} = \frac{m}{R} (\frac{R l}{2} - μ t h \frac{R l}{4}) \\ п р и z = 0 \end{matrix}$
$М_{ω}$		$М_{ω} = \frac{μ m}{R} \cdot \frac{s h R (\frac{l}{4} - z)}{c h \frac{R l}{4}}$	$\begin{matrix} М_{ω m a x} = \frac{μ m}{R} t h \frac{R l}{4} \\ п р и z = 0 \end{matrix}$

Таблица 4. Выражения $θ; B_{ω}; М_{k} и М_{ω}$ при косинусоидальном M_z
Величина	Характер эпюр	Уравнения ординат эпюр	Максимум ординат
M_z		$М_{z} = М_{m a x} \cdot \cos \frac{π \cdot z}{2 l}$	$\begin{matrix} М_{z} = М_{m a x} \\ п р и z = 0 \end{matrix}$
$θ$		$\begin{matrix} θ = N (\frac{π^{2}}{4 l^{2}} \cdot \frac{s h R z}{R^{2} s h R l} + \sin \frac{π z}{2 l}) - \\ - \frac{π}{2 l} \cdot \frac{М_{m a x}}{G l_{c}} \cdot \frac{s h R z}{R^{2} s h R l} \end{matrix}$	$\begin{matrix} θ = N (\frac{π^{2}}{4 l^{2}} \cdot \frac{1}{R^{2}} + 1) - \\ - \frac{π}{2 l} \cdot \frac{М_{m a x}}{G l_{c}} \cdot \frac{1}{R^{2}} \\ п р и z = l \end{matrix}$
$B_{ω}$		$\begin{matrix} B_{ω} = - \frac{E I_{ω}}{μ} [(\frac{s h R z}{s h R l} - \sin \frac{π z}{2 l}) \times \\ \times (N \frac{π^{3}}{4 l^{2}} - \frac{М_{m a x}}{G I_{c}} \frac{π}{2 l})] \end{matrix}$	$\begin{matrix} B_{ω} = - \frac{E I_{ω}}{2 μ} [(\frac{1}{c h \frac{R l}{2}} - \sqrt{2}) \times \\ \begin{matrix} \times (N \frac{π^{3}}{4 l^{2}} - \frac{М_{m a x}}{G I_{c}} \frac{π}{2 l})] \\ п р и z = \frac{l}{2} \end{matrix} \end{matrix}$
M_k		$\begin{matrix} М_{k} = G I_{α} [N \frac{π 2}{4 l^{2}} (\frac{s h R z}{R s h R l} + \frac{2 l}{π} \cos \frac{π z}{2 l}) - \\ - \frac{π}{2 l} \cdot \frac{М_{m a x}}{G I_{c}} \cdot \frac{c h R z}{R s h R l}] \end{matrix}$	$\begin{matrix} М_{k} = G I_{α} \cdot \frac{π}{2 l} \times \\ \times [N - \frac{М_{m a x}}{G I_{c}} \cdot \frac{1}{R s h R l}] \\ п р и z = 0 \end{matrix}$
$М_{ω}$		$\begin{matrix} М_{ω} = \frac{E I_{ω}}{μ} [(N \frac{π^{2}}{4 l^{2}} - \frac{М_{m a x} π}{G I_{c} 2 l}) \times \\ \times (\frac{R c h R z}{s h R l} - \cos \frac{π z}{2 l} \cdot \frac{π}{2 l})] \end{matrix}$	$\begin{matrix} М_{ω} = - \frac{E I_{ω}}{μ} \cdot \frac{π}{2 l} \times \\ \times [(N \frac{π}{2 l} - \frac{М_{m a x}}{G I_{c}}) \times \\ \times (\frac{R}{s h R l} - \frac{π}{2 l})] \\ п р и z = 0 \end{matrix}$
$N = \frac{М_{m a x}}{[\frac{π^{3}}{8 l^{3}} + \frac{R^{2} π}{2 l}]} \cdot (\frac{1}{G I_{c}} \frac{π^{2}}{4 l^{2}} + \frac{μ}{E I_{ω}}) .$

Для симметричного относительно диаметральной плоскости сечения дока а_х = 0. Значение а_y определяется методом последовательных приближений. Главные секториальные координаты $ω$

первого приближения рекомендуется определять относительно центра тяжести сечения. Расчеты $ω$

последующего приближения производят относительно положения центра кручения, полученного в предыдущем приближении.

Предлагается к прочтению: Учет динамических факторов при определении дополнительных продольных усилий на волнении

Процесс последовательных приближений сходится достаточно быстро и два-три приближения дают практически приемлемый результат. Главная секториальная координата последнего приближения является окончательным ее значением, все остальные секториальные характеристики определяются относительно центра кручения.

Интегралы типа $\oint ω x d F$

вычисляются по правилу Верещагина. С целью упрощения расчетов рекомендуется многосвязный контур поперечного сечения дока заменять двухсвязным (одноконтурным), «размазывая» внутренние продольные переборки понтона и палубу безопасности в башне по внешним стенкам контура профиля. Можно также, делая ошибку в безопасную сторону, вообще пренебречь наличием внутренних конструкций, увеличивающих статическую неопределенность контура профиля.

Поперечное сечение — Рис. 6 Эскиз поперечного сечения дока

Момент инерции сечения:

$I_{x} = 617 \cdot 10^{6} с м^{4}; \frac{1}{2} I_{y} = 731 \cdot 10^{6} с м^{4} .$

В дальнейшем определение наиболее специфических характеристик будет поясняться численными расчетами применительно к схеме поперечного сечения дока, изображенной на рис. 6 (пунктиром показаны неучитываемые внутренние конструкции).

Вычисление геометрических характеристик, необходимых для определения σ_ω

Определение главной секториальной координаты $ω$

для одноконтурного сечения.

$ω = ω - ρ S, Ф о р м . 12$

где:

ω — секториальная координата точки сечения:

$ω = \int r d s . Ф о р м . 13$

Этот интеграл берется от определенной начальной точки. За положительное направление обхода принимается направление против движения часовой стрелки. Для сечения, составленного из отрезков прямых,

$ω = \sum^{n} r_{i} s_{i}, Ф о р м . 14$

где:

r_i — длина перпендикуляра, опущенного из полюса на прямолинейный участок контура;
s_i — длина прямолинейного участка контура;
$S$
— приведенная координата точки сечения:

$S = \int \frac{d S}{δ}, Ф о р м . 15$

или, для случая прямолинейных участков,

$S = \sum \frac{s_{i}}{δ_{i}}, Ф о р м . 16$

При распространении интеграла (или суммы) на весь периметр сечения $S$

становится приведенным периметром контура. Так для контура на рис. 6

$S = 2 (\frac{130}{2, 0} + \frac{940}{0, 7}) + \frac{1400}{1, 0} + \frac{390}{1, 0} + 2 (\frac{470}{0, 7} + \frac{590}{0, 7}) = 7630;$

где:

δ_i — толщина прямолинейного участка контура;
ρ — приведенный радиус одноконтурного профиля

$ρ = \frac{Ω}{s},$

где:

Ω удвоенная площадь, ограниченная контуром поперечного сечения дока.

Для поперечного сечения, изображенного на рис. 6,

$Ω = 2 (2 \cdot 130 \cdot 940 + 90 \cdot 1140 + 290 \cdot 375) = 911 \cdot 10^{3}, с м^{2}$

$ρ = \frac{911 \cdot 10^{3}}{7630} = 119 с м^{2} .$

В процессе определения $ω$

рекомендуется построить эпюры $r, ω = r s, S, ρ S, ω = ω - ρ S$

На рис. 7 за «полюс» принят центр тяжести сечения (эпюра r всегда положительна).

На рис. 8 за начальную точку отсчета принята точка 0. Полюс радиуса-вектора принят в центре тяжести. Знак эпюры со определяется направлением вращения радиуса-вектора: «плюс» — против часовой стрелки.

Вычисление ординат эпюры:

$\begin{matrix} ω_{0 - 1} = r_{0 - 1} \cdot S_{0.1} = - 286 \cdot 196 - 557 \cdot 10^{2}; \\ ω_{1 - 2} = ω_{0 - 1} + r_{1 - 2} \cdot S_{1 - 2} = - 557 \cdot 10^{2} - 340 \cdot 470 = - 2157 \cdot 10^{2}; \\ ω_{2 - 3} = ω_{1 - 2} + r_{2 - 3} \cdot S_{2 - 3} = - 2157 \cdot 10^{2} - 570 \cdot 590 = - 5517 \cdot 10^{2} и т . д . \end{matrix}$

Проверка правильности построения эпюры: ордината эпюры в точке 6 должна быть равна

$ω_{6} = \frac{Ω}{2} .$

Вычисление ординат эпюры:

$\begin{matrix} S_{0 - 1} = \frac{S_{0 - 1}}{δ_{0 - 1}} = \frac{195}{1, 0} = 195; \\ S_{1 - 2} = S_{0 - 1} + \frac{S_{1 - 2}}{δ_{1 - 2}} = 195 + \frac{470}{0, 7} = 867; \\ S_{2 - 3} = S_{1 - 2} + \frac{S_{2 - 3}}{δ_{2 - 3}} = 867 + \frac{590}{0, 7} = 1710 и т . д . \end{matrix}$

На рис. 9 за начальную точку отсчета также принимается точка 0.

Вычисление ординат эпюры:

$\begin{matrix} ρ S_{0 - 1} = 119 \cdot 195 = 23, 2 \cdot 10^{3}; \\ ρ S_{2 - 3} = 119 \cdot 1710 = 204 \cdot 10^{3} и т . д . \end{matrix}$

2. Определение

\oint ω x d F

Вычисление этого интеграла производится по правилу Верещагина, которое для функций с прямолинейными эпюрами формулируется так: чтобы проинтегрировать произведение двух функций, необходимо площадь эпюры одной из функций умножить на ординату эпюры другой функции, взятую под центром тяжести площади первой эпюры (рис. 12).

Вычисление ординат эпюры:

$\begin{matrix} ω_{0 - 1} = ω_{0 - 1} - ρ S_{0 - 1} = - 557 \cdot 10^{2} - 232 \times 10^{2} = - 789 \cdot 10^{2}; \\ ω_{1 - 2} = ω_{1 - 2} - ρ S_{1 - 2} = - 2157 \cdot 10^{2} - 1030 \times 10^{2} = - 3187 \cdot 10^{2}; \\ ω_{2 - 3} = ω_{2 - 3} - ρ S_{2 - 3} = - 5517 \cdot 10^{2} - 2040 \times 10^{2} = - 7557 \cdot 10^{2} и т . д .; \end{matrix}$

В табл. 5 даны формулы метода Верещагина для различных сочетаний прямолинейных эпюр подынтегральных функций.

Рис. 12 Перемещение эпюр по правилу Верещагина

Таким образом, для вычисления искомого интеграла, кроме уже построенной эпюры $ω$

, следует построить эпюру $x$

(рис. 13). Интеграл $\oint ω x d F$

, представленный в виде $\sum δ_{i} \oint ω x d s$

, вычисляется в форме табл. 6.

3. Определение

a_{y} = - \frac{\oint ω x d F}{I_{y}}

Для определения $a_{y}$

необходимо предварительно вычислить момент инерции корпуса дока относительно вертикальной оси I_у. После определения $a_{y}$

в первом приближении (для рассматриваемого примера $a_{y}^{(1)} = - \frac{4861 \cdot 10^{8}}{731 \cdot 10^{6}} = - 667 с м$

) вновь определяется $ω$

(снова определяются и строятся эпюры r, ω = rs относительно полученного центра кручения $a_{y}^{(1)}$

– значения ρs остаются прежними). Истинное положение центра кручения должно соответствовать условию а_у = 0.

Таблица 5. Значения интегралов $\int_{0} M_{α} \cdot M_{b} \cdot d x$
Эпюра М_b	Эпюра М_а
		$α c l$	$\frac{1}{2} α c l$	$\frac{1}{2} α c l$	$\frac{1}{2} α (c + d) l$	$\frac{1}{2} α (l - d) l$
		$\frac{1}{2} α c l$	$\frac{1}{3} α c l$	$\frac{1}{6} α c l (1 + \frac{x'}{l})$	$\frac{1}{6} α (2 c + d) l$	$\frac{1}{6} α (2 c - d) l$
		$\frac{1}{2} α c l$	$\frac{1}{6} α c l$	$\frac{1}{6} α c l (1 + \frac{x}{l})$	$\frac{1}{6} α (c + 2 d) l$	$\frac{1}{6} α (c - 2 d) l$
		$\frac{1}{2} α c l$	$\frac{1}{6} α c l (1 + \frac{x'}{l})$	$\frac{1}{3} α c l$	$\begin{matrix} \frac{1}{6} α [c (1 + \frac{x'}{l}) + \\ + d (1 + \frac{x}{l})] l \end{matrix}$	$\begin{matrix} \frac{1}{6} α [c (1 + \frac{x'}{l}) - \\ - d (1 + \frac{x}{l})] l \end{matrix}$
		$\frac{1}{2} α c l$	$\frac{1}{4} α c l$	$\frac{1}{2} \frac{α c l}{x'} (\frac{l}{2} - \frac{2 x^{2}}{3 l})$	$\frac{1}{4} α (c + d) d$	$\frac{1}{4} α (c - d) l$
		$\frac{1}{2} c (α + b) l$	$\frac{1}{6} c (2 α + b) l$	$\begin{matrix} \frac{1}{6} c [α (1 + \frac{x}{l}) + \\ + b (1 + \frac{x}{l})] l \end{matrix}$	$\begin{matrix} \frac{1}{6} [c (2 α + b) + \\ + d (2 b + α)] l \end{matrix}$	$\begin{matrix} \frac{1}{6} [c (2 α + b) - \\ - d (2 b + α)] l \end{matrix}$
		$\frac{1}{2} c (α - b) l$	$\frac{1}{6} c (2 α - b) l$	$\begin{matrix} \frac{1}{6} c [α (1 + \frac{x'}{l}) - \\ - b (1 + \frac{x}{l})] l \end{matrix}$	$\begin{matrix} \frac{1}{6} [c (2 α - b) - \\ - d (2 b - α)] l \end{matrix}$	$\begin{matrix} \frac{1}{6} [c (2 α - b) + \\ + d (2 b - α)] l \end{matrix}$
		0	$\frac{1}{6} α b l$	$\frac{1}{3} α c x$	$\frac{1}{6} α (c - d) l$	$\frac{1}{6} α (c + d) l$
–		–	$\int_{0}^{l} М_{α} М_{b} = \frac{1}{3} α c l$	$\int_{0}^{l} М_{α} М_{b} = \frac{1}{3} α c l$	–	–
–		–	$\int_{0}^{l} М_{α} М_{b} = \frac{1}{3} α c l$	$\int_{0}^{l} М_{α} М_{b} = \frac{1}{3} α c l$	–	–

Таблица 6. Расчет выражения $\sum δ \oint ω x d s$
Стержень	Длина см	$ω_{1}, с м^{2}$	$x_{1}, с м$	Формула	$\oint ω x d l$	$δ_{i} \oint ω x d l, с м^{5}$	$δ_{i}, м м$
0-1	195			$\begin{matrix} \frac{1}{3} ω_{1} x_{1} l = \\ = \frac{1}{3} (- 789 \cdot 10^{2}) \times \\ \times (- 195) \cdot 195 \end{matrix}$	10·10⁸	10·10⁸	10
1-2	470			$\begin{matrix} \frac{1}{6} [ω_{2} (2 x_{2} + x_{1}) + \\ + ω_{1} (2 x_{1} + x_{2})] l = \\ = \frac{1}{6} [- 3187 \cdot 10^{2} \times \\ \times (- 1140 - 195) - \\ - 789 \cdot 10^{2} (- 390 \times) \\ (\times 570)] \cdot 470 \end{matrix}$	393·10⁸	275·10⁸	7
2-3	590			$\begin{matrix} \frac{1}{2} x_{2} (ω_{2} + ω_{3}) l = \\ \frac{1}{2} (- 570) \times \\ \times (- 3187 \cdot 10^{2} - \\ - 7557 \cdot 10^{2}) 590 \end{matrix}$	1470·10⁸	1055·10⁸	7
3-4	130			$\begin{matrix} \frac{1}{6} [ω_{3} (2 x_{3} + x_{4}) + \\ + ω_{4} (2 x_{4} + x_{3})] l = \\ = \frac{1}{6} [- 7557 \cdot 10^{2} \times \\ \times (- 1140 - 700) - \\ - 6869 \cdot 10^{2} \times \\ \times (- 1400 - 570)] 130 \end{matrix}$	395·10⁸	1190·10⁸	20
4-5	940			$\begin{matrix} \frac{1}{2} x_{4} (ω_{4} + ω_{5}) l = \\ \frac{1}{2} (- 700) \times \\ \times (- 6869 \cdot 10^{2} - \\ - 1909 \cdot 10^{2}) 940 \end{matrix}$	2890·10⁸	2020·10⁸	7
5-6	700			$\begin{matrix} \frac{1}{3} ω_{5} x_{5} l = \\ = \frac{1}{3} (- 1909 \cdot 10^{2}) \times \\ \times (- 700) 700 \end{matrix}$	311·10⁸	311·10⁸	10
$\sum 4861 \cdot 10^{8}$

Это условие является критерием окончания процесса последовательных приближений при определении положения центра кручения. Практически процесс приближения можно останавливать при значениях а_у

, близких к нулю, когда значения главных секториальных координат $ω$

в последнем приближении мало отличаются от их значений в предыдущем приближении.

Определение геометрических характеристик, необходимых для определения τ_к, τ_ω

1. Определение главного секториального статического момента $S_{ω}$

$S_{ω} = p - S ω, Ф о р м . 17$

где:

$p$
— единичный поток касательных усилий;
$S_{ω}$
— секториальный статический момент точки контура поперечного сечения, равный

$S_{ω} = \int_{0}^{s} ω d F = \sum δ_{i} \int_{0}^{s} ω d s Ф о р м . 18$

(интеграл распространяется от начала отсчета до рассматриваемой точки n).

Для прямолинейной эпюры $_{ω}$

на прямолинейных участках контура выражение $S_{ω}$

будет иметь вид

$S_{ω} = \sum δ_{i} (\frac{ω_{н} + ω_{к}}{2} \cdot s_{i} + f), Ф о р м . 19$

где:

$ω_{н}, ω_{к}$
— главные секториальные координаты начала и конца рассматриваемого участка контура;
δ_i — толщина участка;
S_i — длина участка;
f — поправка на криволинейность эпюры $S_{ω}$
;

$f = \frac{ω_{н} - ω_{к}}{8} s_{i} . Ф о р м . 20$

Вычислять значения $S_{ω}$

рекомендуется в форме табл. 7. При построении эпюры $S_{ω}$

(рис. 14) рекомендуется определить значение статического момента для точки А, расположенной по середине высоты сечения, т. е. для точки максимальных изгибно-крутильных касательных напряжений τ_ω (рис. 18).

Вычисление ординат эпюры:

$\begin{matrix} {(S_{ω})}_{0 - 1} = 556 \cdot 10^{4}; \\ {(S_{ω})}_{1 - 2} = {(S_{ω})}_{0 - 1} + 2180 \cdot 10^{4} = 2736 \cdot 10^{4}; \\ {(S_{ω})}_{2 - 3} = {(S_{ω})}_{1 - 2} - 5920 \cdot 10^{4} = - 3184 \times 10^{4} и т . д . \end{matrix}$

Единичный поток касательных усилий $p$

определяется из равенства

$S p = \oint S_{ω} d S, Ф о р м . 21$

где:

$S$
— приведенный периметр контура сечения (см. выше);
$\oint S_{ω} d S$
— приведенная площадь эпюры секториальных статических моментов.

Таблица 7. Расчет $S_{ω}$
Стержень	Эпюры $ω_{i}$	Вычисление по участкам $S_{ω} = δ \frac{ω_{н} + ω_{k}}{2} \cdot s; f = δ \frac{ω_{н} - ω_{k}}{8} \cdot s$	Эпюра $S_{ω}$ по участкам
0-1		$\begin{matrix} {(S_{ω})}_{0 - 1} = \frac{1}{2} (0 + 570 \cdot 10^{2}) \cdot 195 \cdot 1, 0 = 556 \cdot 10^{4} \\ f_{0 - 1} = \frac{1, 0}{8} (0 - 570 \cdot 10^{2}) \cdot 195 = - 139 \cdot 10^{4} \end{matrix}$
1-2		$\begin{matrix} {(S_{ω})}_{1 - 2} = \frac{1}{2} (570 \cdot 10^{2} + 757 \cdot 10^{2}) \cdot 470 \cdot 0, 7 = 2180 \cdot 10^{4} \\ f_{1 - 2} = \frac{0, 7}{8} (570 \cdot 10^{2} - 757 \cdot 10^{2}) \cdot 470 = - 77 \cdot 10^{4} \end{matrix}$
2-3		$\begin{matrix} {(S_{ω})}_{2 - 3} = \frac{1}{2} (757 \cdot 10^{2} - 3613 \cdot 10^{2}) \cdot 590 \cdot 0, 7 = - 5920 \cdot 10^{4} \\ f_{2 - 3} = \frac{0, 7}{8} (757 \cdot 10^{2} + 3613 \cdot 10^{2}) \cdot 590 = 2260 \cdot 10^{4} \end{matrix}$
3-4		$\begin{matrix} {(S_{ω})}_{3 - 4} = \frac{1}{2} (- 3613 \cdot 10^{2} - 2018 \cdot 10^{2}) \cdot 130 \cdot 2, 0 = - 7310 \cdot 10^{4} \\ f_{3 - 4} = \frac{2, 0}{8} (- 3613 \cdot 10^{2} + 2018 \cdot 10^{2}) \cdot 130 = - 518 \cdot 10^{4} \end{matrix}$
4-5		$\begin{matrix} {(S_{ω})}_{4 - 5} = \frac{1}{2} (- 2018 \cdot 10^{2} + 2932 \cdot 10^{2}) \cdot 940 \cdot 0, 7 = 3000 \cdot 10^{4} \\ f_{4 - 5} = \frac{0, 7}{8} (- 2018 \cdot 10^{2} - 2932 \cdot 10^{2}) \cdot 940 = - 4070 \cdot 10^{4} \end{matrix}$
5-6		$\begin{matrix} {(S_{ω})}_{5 - 6} = \frac{1}{2} (2932 \cdot 10^{2} + 0) \cdot 700 \cdot 1, 0 = 10 250 \cdot 10^{4} \\ f_{5 - 6} = \frac{1, 0}{8} (2932 \cdot 10^{2} - 0) \cdot 700 = 2570 \cdot 10^{4} \end{matrix}$
Примечание. Приведенные в таблице эпюры $ω_{i}$ являются результатом окончательного приближения. промежуточные расчеты в примере не приводятся.

Интегральное выражение приведенной площади эпюры секториальных статических моментов для прямолинейных участков контура можно представить в следующем виде:

$\oint S_{ω} d S = \sum \frac{s_{i}}{δ_{i}} (\frac{S \frac{н}{ω} + S \frac{k}{ω}}{2} + \frac{2}{3} f), Ф о р м . 22$

$S \frac{н}{ω}, S \frac{k}{ω}$
— ординаты эпюры S_ω в начале и конце рассматриваемого участка.

Вычисление ординаты — Рис. 15 К вычислению ординаты $(S_{ω})$ в точке А

$(S_{ω}) А = \frac{{(S_{ω})}_{4} + {(S_{ω})}_{5}}{2} + f_{4 - 5} = \frac{- 10494 \cdot 10^{4} - 7494 \cdot 10^{4}}{2} - 4070 \times 10^{4} = 13060 \cdot 10^{4}, с м^{4} .$

Вычисления по формуле (Формула 22) рекомендуется вести в форме табл. 8.

Таким образом,

$p = \frac{2 \sum}{s} = \frac{- 2 \cdot 14 \cdot 113 \cdot 10^{7}}{7830} = - 374 \times 10^{5} с м$

для всего контура. Теперь можно подсчитать ординаты и построить эпюру $S_{ω}$

(рис. 16).

Вычисление ординат эпюры:

$\begin{matrix} {(S_{ω})}_{0 - 1} = p - {(S_{ω})}_{0 - 1} = - 3740 \cdot 10^{4} - 556 \cdot 10^{4} = - 4296 \cdot 10^{4}; \\ {(S_{ω})}_{2 - 3} = p - {(S_{ω})}_{2 - 3} = - 3740 \cdot 10^{4} + 3184 \cdot 10^{4} = - 556 \cdot 10^{4} и т . д . \end{matrix}$

2. Определение моментов инерции I_a, I_c, I_ω. Момент инерции свободного кручения для одноконтурного сечения определяется следующим образом:

$I_{α} = \frac{Ω^{2}}{S} . Ф о р м . 23$

Таблица 8. Расчет $\oint S_{ω} d S$
Стержень	$\frac{s}{δ} (\frac{S \frac{н}{ω} + S \frac{k}{ω}}{2} + \frac{2}{3} f)$	Результат
0-1	$\frac{195}{1, 0} [\frac{0 + 556 \cdot 10^{4}}{2} + \frac{2}{3} (- 139 \cdot 10^{4})]$	36·10⁷
1-2	$\frac{470}{0, 7} [\frac{556 \cdot 10^{4} + 2736 \cdot 10^{4}}{2} + \frac{2}{3} (- 77 \cdot 10^{4})]$	1070·10⁷
2-3	$\frac{590}{0, 7} (\frac{2736 \cdot 10^{4} - 3184 \cdot 10^{4}}{2} + \frac{2}{3} 2260 \cdot 10^{4})$	1455·10⁷
3-4	$\frac{130}{2, 0} [\frac{- 3184 \cdot 10^{4} - 10 494 \cdot 10^{4}}{2} + \frac{2}{3} (- 518 \cdot 10^{4})]$	-467·10⁷
4-5	$\frac{940}{0, 7} [\frac{- 10 494 \cdot 10^{4} - 7491 \cdot 10^{4}}{2} + \frac{2}{3} (- 4070 \cdot 10^{4})]$	-15 750·10⁷
5-6	$\frac{700}{1, 0} [\frac{- 7494 \cdot 10^{4} + 2756 \cdot 10^{4}}{2} + \frac{2}{3} 2570 \cdot 10^{4}]$	-457·10⁷
$\sum = - 14 113 \cdot 10^{7}$

Имея в виду, что $ρ = \frac{Ω}{S}$

можно написать:

$I_{α} = Ω \cdot ρ; I_{α} = 911 \cdot 10^{3} \cdot 119 = 1083 \cdot 10^{5}, с м^{4} .$

Направленный момент инерции определяется выражением

$I_{c} = \oint r^{2} d F, Ф о р м . 24$

или, для случая прямолинейных участков сечения с постоянной эпюрой r на отдельных участках,

$I_{c} = \sum δ_{i} \oint r^{2} d s = \sum δ_{i} r_{i}^{2} s_{i}, Ф о р м . 25$

где знак суммы распространяется на все участки контура поперечного сечения (r отсчитывается от центра кручения).

Вычислять I_c рекомендуется в форме табл. 9.

Если сумма распространена на половину симметричного сечения, то

$I_{c} = 2 \sum = 2 \cdot 10 041 \cdot 10^{5} = 20 082 \cdot 10^{5}, с м^{4} .$

Секториальный момент инерции I_ω имеет следующее выражение:

$I_{ω} = \oint ω^{2} d F, Ф о р м . 26$

или

$I_{ω} = \sum δ_{i} \oint ω^{2} d s . Ф о р м . 27$

Интеграл $\oint ω^{2} d s$

вычисляется по правилу Верещагина перемножением эпюры $ω$

самой на себя. Вычислять интеграл удобно в форме табл. 10. Если сумма распространена на половину симметричного сечения, то

$I_{ω} = 2 \sum = 2 \cdot 7194 \cdot 10^{10} = 144 \cdot 10^{12}, с м^{6} .$

Таблица 9. Расчет I_c
Стержень	s_i, см	$δ_{i}, с м$	r_i, см	$r_{i}^{2}, с м^{2}$	$s_{i} \cdot r_{i}^{2}, с м^{3}$	$δ_{i} s_{i} r_{i}^{2}, с м^{4}$
0-1	195	1,0	412	168·10³	328·10⁵	328·10⁵
1-2	470	0,7	210	44,2·10³	208·10⁵	146·10⁵
2-3	590	0,7	570	325·10³	1920·10⁵	1340·10⁵
3-4	130	2,0	1282	1645·10³	2140·10⁵	4280·10⁵
4-5	940	0,7	700	490·10³	4600·10⁵	3220·10⁵
5-6	700	1,0	322	104·10³	727·10⁵	727·10⁵
$\sum = 10 041 \cdot 10^{5}$
Примечание. Значения r_i в таблице соответствуют окончательному положению центра кручения. Промежуточные вычисления не приводятся.

Вычисление напряжений

После определения всех геометрических характеристик вычисляют напряжения. Максимальные значения В_ω, М_к, М_ω, в зависимости от принятого вида распределения внешнего крутящего момента, вычисляют по формулам, приведенным в табл. 3 и 4. B_{ω max} возникает на ¼ L, а М_{ω max} и М_{к max} — на миделе дока.

Подставляя значения В_ω, М_ω, М_к в выражения для напряжений, представим последние в виде

$\begin{matrix} σ_{ω} = β_{1} ω (в п р и м е р е σ_{ω} = 74 \cdot 10^{- 5} \cdot ω); \\ τ_{ω} = β_{2} \frac{S_{ω}}{δ} (в п р и м е р е τ_{ω} = 55 \cdot 10^{- 3} \frac{S_{ω}}{δ}); \\ τ_{k} = β_{3} \frac{1}{δ} (в п р и м е р е τ_{k} = 260 \cdot \frac{1}{δ}), \end{matrix}$

где:

β₁, β₂, β₃ — численные значения выражений

$β_{1} = \frac{B_{ω}}{I_{ω}}, β_{2} = \frac{M_{ω}}{I_{ω}}, β_{3} = \frac{M_{k} ρ}{I_{α}} .$

Таблица 10. Расчет $I_{ω}$
Стержень	$ω_{i}, с м^{2}$	$δ, с м$	Вычисления	$ω_{i}^{2} \cdot s_{i}, с м^{5}$	$ω_{i}^{2} \cdot s_{i} \cdot δ, с м^{6}$
0-1		1,0	$\begin{matrix} \frac{1}{3} ω_{1}^{2} l = \\ = \frac{1}{3} {(570 \cdot 10^{2})}^{2} 195 \end{matrix}$	21·10¹⁰	21·10¹⁰
1-2		0,7	$\begin{matrix} \frac{1}{3} (ω_{1}^{2} + ω_{1} ω_{2} + ω_{2}^{2}) l = \\ = \frac{1}{3} [{(570 \cdot 10^{2})}^{2} + (570 \cdot 10^{2}) (757 \cdot 10^{2}) + \\ + {(757 \cdot 10^{2})}^{2}] \cdot 470 \end{matrix}$	176·10¹⁰	123·10¹⁰
2-3		0,7	$\begin{matrix} \frac{1}{3} (ω_{2}^{2} + ω_{2} ω_{3} + ω_{3}^{2}) l = \\ = \frac{1}{3} [{(757 \cdot 10^{2})}^{2} + (757 \cdot 10^{2}) (- 3613 \cdot 10^{2}) + \\ + (- 3613 \cdot 10^{2})] \cdot 590 \end{matrix}$	2080·10¹⁰	1460·10¹⁰
3-4		2,0	$\begin{matrix} \frac{1}{3} (ω_{3}^{2} + ω_{3} \cdot ω_{4} + ω_{4}^{2}) l = \\ = \frac{1}{3} [{(- 3613 \cdot 10^{2})}^{2} + (- 3613 \cdot 10^{2}) \times \\ \times (- 2018 \cdot 10^{2}) + {(- 2018 \cdot 10^{2})}^{2}] 130 \end{matrix}$	1055·10¹⁰	2110·10¹⁰
4-5		0,7	$\begin{matrix} \frac{1}{3} (ω_{4}^{2} + ω_{4} ω_{5} + ω_{5}^{2}) l = \\ = \frac{1}{3} [{(- 2018 \cdot 10^{2})}^{2} + (- 2018 \cdot 10^{2}) \times \\ \times (2932 \cdot 10^{2}) + {(2932 \cdot 10^{2})}^{2}] 940 \end{matrix}$	2110·10¹⁰	1480·10¹⁰
5-6		1,0	$\begin{matrix} \frac{1}{3} ω_{5}^{2} \cdot l = \\ \frac{1}{3} {(2932 \cdot 10^{2})}^{2} 700 \end{matrix}$	2000·10¹⁰	2000·10¹⁰
$\sum 7194 \cdot 10^{10}$
Примечание. $ω_{i}$ – результат окончательного приближения.

Такое выражение напряжений в функции от геометрических характеристик позволяет вычислить ординаты и построить эпюры напряжений (рис. 17—20).

Вычисление ординат эпюры:

$\begin{matrix} {(σ ω)}_{0 - 1} = \frac{β_{ω}}{I_{ω}} \cdot ω_{0 - 1} = 74 \cdot 10^{5} \cdot 570 \times 10^{2} = 40; \\ {(σ ω)}_{1 - 2} = β_{1} \cdot ω_{1 - 2} = 74 \cdot 10^{5} \cdot 757 \cdot 10^{2} = 60; \\ {(σ ω)}_{2 - 3} = β_{1} \cdot ω_{2 - 3} = 74 \cdot 10^{5} (- 3613 \cdot 10^{2}) = - 270 и т . д . \end{matrix}$

Полученные нормальные напряжения от скручивания следует просуммировать с нормальными напряжениями от изгиба на соответствующем «косом курсе». Касательные напряжения от скручивания суммируются с касательными напряжениями от изгиба.

При ориентировочных расчетах суммарную величину касательных напряжений от скручивания можно определить как для свободного кручения одноконтурного сечения по формуле Бредта:

$τ = \frac{M (z)}{Ω δ} . Ф о р м . 28$

Порядок расчета напряжений при поперечном скручивании тот же, что и при продольном. Представляя продольные сечения дока в виде симметричных прямоугольников и пренебрегая (с ошибкой в безопасную сторону) наличием поперечных переборок (рис. 21), можно добиться значительных упрощений. Так, для продольного сечения, показанного на рис. 21, а, формулы основных геометрических характеристик будут иметь вид:

$Ω = 2 l h; Ф о р м . 29$

$S = \oint \frac{d s}{δ} = 2 (\frac{l}{δ_{п}} + \frac{h}{δ_{т}}); Ф о р м . 30$

$ρ = \frac{Ω}{S} = \frac{l h}{\frac{l}{δ_{п}} + \frac{h}{δ_{т}}}; Ф о р м . 31$

$I_{α} = \frac{Ω^{2}}{S} = \frac{2 l^{2} h^{2}}{\frac{l}{δ_{п}} + \frac{n}{δ_{т}}}; I_{c} = \int_{F} r^{2} d F = \frac{l h}{2} (l δ_{т} + h δ_{п}); Ф о р м . 32$

$I_{ω} = \int_{F} ω^{2} d F = \frac{l^{2} h^{2}}{24} \frac{{(l δ_{т} - h δ_{п})}^{2} (l δ_{п} + h δ_{т})}{{(l δ_{т} + h δ_{п})}^{2}}, Ф о р м . 33$

где:

$δ_{п} = \frac{δ_{с т . - п} + δ_{д н}}{2}$
— средняя толщина днища и стапель-палубы понтона;
δ_т — толщина торцовых стенок понтона;
l, h — длина и высота понтона.

Характер изменения $ω, S_{ω}, S_{ω}$

показан на рис. 21, в, г, д.

Вычисление ординат эпюры:

$\begin{matrix} {(τ_{ω})}_{0} = \frac{M_{ω} {(S_{ω})}_{0 - 1}}{I_{ω} δ_{0 - 1}} = β_{2} (\frac{S_{ω}}{δ}) = 55 \cdot 10^{- 8} \frac{- 3740 \cdot 10^{4}}{1, 0} = - 20; \\ {(τ_{ω})}_{0 - 1} = β_{2} {(\frac{S_{ω}}{δ})}_{0 - 1} = 55 \cdot 10^{8} \frac{- 4296 \cdot 10^{4}}{1, 0} = - 25; \\ {(τ_{ω})}_{1 - 2} = β_{2} (\frac{S_{ω}}{δ}) = 55 \cdot 10^{- 8} \frac{- 6476 \cdot 10^{4}}{0, 7} = - 50 к г / с м^{2} и т . д . \end{matrix}$

Выражения для ординат эпюр $ω, S_{ω}, S_{ω}$

в точках 0, 1, 2 имеют следующий вид²:

$\begin{matrix} ω_{0} = ω_{2} = 0; \\ ω_{1} = \frac{l h^{2}}{4} \frac{l δ_{т} - h δ_{п}}{l δ_{т} + h δ_{п}}; \\ {(S_{ω})}_{0} = \frac{l h}{16} \frac{(l δ_{т} - h δ_{п}) (l δ_{п} + h δ_{т})}{l δ_{т} - h δ_{п}}; \\ {(S_{ω})}_{1} = \frac{l h}{16} \frac{(l δ_{т} - h δ_{п}) δ_{т}}{l δ_{т} + h δ_{п}}; \\ {(S_{ω})}_{2} = 0; \\ {(S_{ω})}_{0} = \frac{l h}{48} \frac{(l δ_{т} - h δ_{п}) (2 l δ_{п} + h δ_{т})}{l δ_{т} + h δ_{п}}; \\ {(S_{ω})}_{1} = - \frac{l h}{48} \frac{(l δ_{т} - h δ_{п}) (l δ_{п} - h δ_{т})}{l δ_{т} + h δ_{п}}; \\ {(S_{ω})}_{2} = - \frac{l h}{48} \frac{(l δ_{т} - h δ_{п}) (l δ_{п} + 2 h δ_{т})}{l δ_{т} + h δ_{п}} . \end{matrix}$

Вычисление ординат эпюры:

$\begin{matrix} {(τ_{к р})}_{0} = \frac{М_{к р} ρ}{I α} \cdot \frac{1}{δ_{0 - 1}} = β_{3} \frac{1}{δ_{0 - 1}} = 260 \frac{1}{1, 0} = 260; \\ {(τ_{к р})}_{0 - 1} = β_{3} \frac{1}{δ_{0 - 1}} = 260 \frac{1}{1, 0} = 260; \\ {(τ_{к р})}_{1 - 2} = β_{3} \frac{1}{δ_{1 - 2}} = 260 \frac{1}{0, 7} = 370 и т . д . \end{matrix}$

²Выражения получены на основании общих формул; промежуточные выкладки (ввиду их простоты) не приводятся.

Вычисление ординат эпюры:

$\begin{matrix} τ_{0} = {(τ_{к р})}_{0} + {(τ_{ω})}_{0} = 260 - 20 = 240; \\ τ_{1}^{'} = {(τ_{к р})}_{0 - 1} + {(τ_{ω})}_{0 - 1} = 260 - 25 = 235; \\ τ_{1}^{″} = {(τ_{к р})}_{1 - 2} + {(τ_{ω})}_{1 - 2} = 370 - 25 = 345 и т . д . \end{matrix}$