Требования к предельной прочности и устойчивости элементов поперечных сечений балочных конструкций судна

$\frac{c_i}{{\delta }_i}–2,5{\eta }_i^2{\zeta }_i\ge 0, Форм. 1$

$K=\frac{E}{\zeta };T_{э}=2\sqrt{KE{I}_{п}}; l_{п}=\pi \sqrt{\frac{E{I}_{п}}{K}}, Форм. 2$

${\sigma }_{кр}={\sigma }_{т}; {\sigma }_{э}={\alpha }_i{\sigma }_{\tau },{\alpha }_3=1,{\alpha }_{1,2}>1. Форм. 3$

$h_2=h_2–0,8h_1. Форм. 4$

$\frac{t_{3пр}^3{z}_p}{12}=i_p+\frac{t_3^3{z}_p}{12}, Форм. 5$

$t_{3пр}=t_3\sqrt[3]{1,58\frac{h_3^2}{t_3^2}\frac{{\sigma }_{т}}{E}+1}. Форм. 6$

$\frac{c_i}{{\delta }_i}–2,5{\eta }_i^2{\zeta }_i\ge 0, Форм. 7$

$c_i–{\delta }_{i}2,5{\eta }_i^2\left(e_i\right){\xi }_i\left(e_i\right)=0. Форм. 8$

$c_i=A_i\left(\frac{h_i}{t_i}–B_i\right){\sigma }_{\tau }\sqrt{{\delta }_i{t}_i}\ge D_i{\delta }_i, Форм. 9$

$t_i=2,63c_{1i}\sqrt{\frac{{\sigma }_{\tau }}{5,34+(c_{1i}/c_{2i}}}, Форм. 10$

$c_i=400{\delta }_i/\sqrt{{\sigma }_{\tau }}, Форм. 11$

$q_R=p_R{b}_R, Форм. 12$

$b_p=b_R(1,6–0,1b_{ R}/\alpha ),$

$m_{н.о}=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{{\sigma }_{\tau }{S}_{н.о}^2}{4}. Форм. 13$

$m=m_{н.о}\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{h}{\alpha }}{\displaystyle \frac{S_{н.о}^3}{t^3}}}\le m_c=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{{\sigma }_{\tau }{t}^2}{4}, Форм. 14$

$m=\left\{\begin{array}{l}{m}_c при {\gamma }_1<1;\\ \frac{m_c}{{\gamma }_1} при {\gamma }_1\ge 1,\end{array}\right. Форм. 15$

$q=0,5q_R. Форм. 16$

$q=0,5q_R=\frac{4M_0}{b(l_0–0,5b)}, Форм. 17$

${\overline{\sigma }}_{оп}=–0,7; {\overline{\sigma }}_{ср}=1. Форм. 18$

$\sigma (x,z/x=const)=\sigma (x,h/x=const)\frac{z}{h}, Форм. 19$

$T_j={\theta }_j\underset{0}{\overset{l_i}{\int }}{m}_j\left(x_j\right)d{x}_j, j=1,2, Форм. 20$

$l_1=h; {\theta }_1=\frac{w}{n}; m_1=m_c\left(1–{\left({\overline{\sigma }}_{оп}\frac{z}{h}\right)}^2\right); T_1=\frac{5}{6}{m}_{c}h\frac{w}{n}; Форм. 21$

$l_2=\sqrt{h^2+n^2}; {\theta }_2=\frac{w}{l_2}\left(\frac{h}{n}+\frac{n}{h}\right); m_2=m_c; T_2=m_c\left(\frac{h}{n}+\frac{n}{h}\right)w Форм. 22$

$T_j={\theta }_j{M}_{ j}, j=3,4. Форм. 23$

${\theta }_3=\frac{w}{n}; M_3=M_{п}(1–{\overline{\sigma }}_{оп}^2)\approx 0,5M_{п}; T_3=0,5M_{п}\frac{w}{n}; {\theta }_4=\frac{w}{n}; M_4=M_{п};$

$V=\frac{w}{h}\underset{0}{\overset{0,5l}{\int }}m\left(x\right)dx=\frac{w}{h}{m}_{c}0,5l. Форм. 24$

$\frac{д(T–V)}{дw}=0; \frac{д(T–V)}{дn}=0.$

$\frac{c}{\delta }=0,88\sqrt{\frac{th}{{\delta }^3}\left({\left(\frac{l}{4h}\right)}^2–1,83\right)}. Форм. 26$

$ma{x}_q$

где:

• σ₂ – нормальное напряжение на кромке стенки;
• σ₁ – нормальное напряжение в площадке, перпендикулярной кромке стенки;
• t₁ – толщина стенки.

Решение (Формула 27) дает

Введем гипотезу о линейном распределении напряжений по высоте листового элемента

где:

• z – отстояние от кромки листового элемента;
• h – высота стенки балки.

Гипотеза (Формула 29) позволяет свести задачу о предельном равновесии стенки при совместном действии смятия и изгиба к рассмотрению наиболее нагруженного сечения балки, в котором реализуется максимум изгибающего момента М.

Предлагается к прочтению: Конструкция в районе палубных вырезов

При совместном действии в сечении балки напряжений от смятия (σ₁, σ₂) И изгиба (σ_м) условие пластичности для всей совокупности его точек запишется в виде

где:

• z₁ – отстояние от нейтральной оси сечения.

Уравнения предельного равновесия будут

где:

• ω – площадь сечения балки.

Соотношения (Формула, а), (Формула 30) позволяют решить задачу об отыскании уравнения предельной кривой:

Результаты численного решения (Формула 31) для типовых сечений балок основного набора (обыкновенных шпангоутов и продольных балок) и рамных шпангоутов при поперечной системе набора представлены на рис. 8. Данные рис. 8 дают представление о сравнительном уровне требований к толщинам стенок балок основного и рамного набора.

Обозначим:

• $\delta =\frac{M}{M_{пр}}$

  – относительное уменьшение изгибающего момента по сравнению с предельным изгибающим моментом при чистом изгибе, обусловленное влиянием смятия.

Будем рассматривать величину δ в качестве независимого параметра и перейдем от (Формула 31) к заданию уравнения предельной кривой в явном виде

Тогда Методы расчета прочности конструкций ледовых усилений при глубоком пластическом деформированиитребование к толщине стенки может быть представлено в виде

где:

• δ_нi – нормативное значение параметра δ для балки i-го типа.

Применяя сформулированный принцип равнопрочности к рассматриваемой задаче, придем к условию постоянства нормативного значения δ для всех типов балок:

Анализ существующих требований к толщинам стенок позволил установить следующую нормативную величину параметра δ:

Тогда

В рамках изложенной расчетной модели стенки несущих стрингеров и рамных шпангоутов при продольной системе набора находятся в более благоприятных условиях, поскольку приходящаяся на них погонная нагрузка хотя и имеет максимальное значение q = ра, но, в отличие от рассмотренного случая, распределена вдоль кромки не равномерно, а по треугольнику. Однако применительно к указанным балкам, необходимо принимать во внимание следующие обстоятельства. Во-первых, в узлах пересечения с основным набором должна обеспечиваться надежная передача усилий взаимодействия. Во-вторых, стенки ослаблены вырезами для прохода балок основного набора. Учитывая изложенное, принимается:

Таким образом, соотношения (Формула 37), (Формула 38) устанавливают требования к толщинам стенок набора бортовых перекрытий из условий обеспечения предельной прочности при совместном изгибе и смятии.

Предельная прочность кничных соединений

Особенности работы кничных соединений и постановка задачи

В корпусных конструкциях морских судов кницы используются в основном с целью снижения уровня напряженности и повышения усталостной долговечности узлов соединения (пересечения) балок. В конструкциях ледовых усилений согласно представленным в разд. “Анализ повреждаемости и обоснование критериев прочности корпусов судов ледового плавания и ледоколовАнализ данных о повреждаемости судов ледового плавания в условиях продленной навигации в Арктике” данным усталостные повреждения отсутствуют, а типичные для кничных узлов ледовые повреждения связаны с пластическим выпучиванием (выходом из плоскости) книц. Поэтому, положительная с позиций повышения прочности балки роль книц проявляется в основном в уменьшении длины ее свободного пролета. Естественно, что повреждение в виде выпучивания кницы может сопровождаться уменьшением ее способности поддерживать балку и, в связи с этим, снижением предельной прочности балочной конструкции (шпангоутной ветви).

Поскольку проектирование балочных конструкций ледовых усилений осуществляется на основании критерия предельной прочности, то и оценка влияния книц на предельную прочность балочной конструкции, а также определение уровня снижения ее прочности при выпучивании кницы целесообразно выполнить на основании аппарата ТПР. Решение данных задач осуществляется на основании следующей расчетной модели.

Выпучивание кницы происходит под действием погонной нагрузки q, передаваемой на ее катеты соединенными в узле балками. Рассматривая предельное состояние и запредельное деформирование изолированной кницы в рамках обоснованной в разд. “Методы расчета прочности конструкций ледовых усилений при глубоком пластическомМетоды расчета прочности конструкций из жесткопластического материала в геометрически нелинейной постановке” нелинейной постановки, можно получить зависимость указанной нагрузки от максимального прогиба выпучивания кницы w-q (w) (рис. 9, а).

Далее, переходя к балочной конструкции и заменяя кницы реактивными нагрузками (w) (рис. 9, б), можно оценить влияние повреждений в кницах, характеризуемых прогибом w, на уровень предельной прочности балки, а также решить задачу назначения расчетной длины пролета балки с кничными соединениями в опорных сечениях.

Предельное состояние и запредельное деформирование изолированной кницы

Пусть дана прямоугольная симметричная кница со следующими размерами:

• с – длина катета кницы;
• Гк – толщина кницы.

При ее работе в упругой области в составе кничного соединения согласно решению А.З. Локшина на катеты кницы со стороны образующих узел балок (рис. 10, а) действует погонная нагрузка q, которая разлагается на нормальную и касательную составляющие

где:

• х – координата, отсчитываемая от вершины кницы;
• b – длина катета кницы.

Однако при реализации в книце состояния, близкого к предельному, процесс интенсивного развития пластических деформаций неизбежно должен сопровождаться выравниванием величины усилий, передаваемых со стороны балок, по длине катетов кницы. Поэтому на момент перехода кницы в предельное состояние следует принять

Тогда из условия равновесия кницы, как твердого целого (см. рис. 10, б)

В отношении вертикальных перемещений (перпендикулярных плоскости кницы) будем считать кницу жестко заделанной по катетам.

Рассмотрим первоначально работу кницы без подкрепляющего пояска. Переход кницы в предельное состояние происходит в результате образования пластического механизма, включающего три прямолинейных шарнира текучести: вдоль катетов ОМ и OL и вдоль гипотенузы прямого угла ON (рис. 11). Гипотенуза ON одновременно является осью симметрии пластического механизма. В процессе деформирования пластический Крепление механизмов на фундамент суднамеханизм получает перемещения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях: катеты поворачиваются в плоскости кницы вокруг точки О, а гипотенуза в результате слома поверхности кницы в шарнирах текучести поворачивается вокруг точки О в плоскости, перпендикулярной недеформированной поверхности кницы. Имеет место нелинейная связь между указанными перемещениями.

Введем, по аналогии с решениями гл. 2, систему обозначений:

• i – номер шарнира текучести, i = 1 – ОМ (или OL), i = 2 – ON;
• θ_i – угол в шарнире текучести;
• d_i – длина шарнира текучести;
• S_i – отстояние срединной поверхности от нейтрального слоя в шарнире текучести;
• е_i = θ_i S_i – укорочение срединной поверхности в шарнире текучести;
• G_i – сдвиг в шарнире текучести;
• х_i – координата, направленная вдоль оси шарнира текучести, отсчитываемая от точки О;
• u (х_i), v (x_i) – перемещения катета ОМ (OL) в направлении действия нагрузок q_i и q_σ соответственно;
• w (x₂) – перемещение гипотенузы ON в направлении, перпендикулярном недеформированной поверхности кницы.

Поскольку нагрузки q_τ и q_σ постоянны по длине катета, следует принять

Так как шарнир 2 совпадает с осью симметрии пластического механизма, деформации сдвига в нем отсутствуют и G₂ = 0. В виду прямолинейности шарниров текучести

где:

• w_max – максимальный прогиб выпучивания кницы (в точке N).

В рамках введенной в разд. “Методы расчета прочности конструкций ледовых усилений при глубоком пластическомМетоды расчета прочности конструкций из жесткопластического материала в геометрически нелинейной постановке” терминологии пластический механизм характеризуется следующим набором параметров:

• вектор обобщенных перемещений u = {u_k} = {w_max, S₁, S₂, G₁} ^Т, k = 1,…, 4;
• вектор обобщенных деформаций θ = {θ₁, θ₂, e₁, e₂, u, v}^Т.

Отметим, что в соответствии с положениями разд. “Методы расчета прочности конструкций ледовых усилений при глубоком пластическомМетоды расчета прочности конструкций из жесткопластического материала в геометрически нелинейной постановке” изменение размеров жестких частей механизма за счет обобщенных перемещений S₁, S₂, G₁ должно учитываться при определении работ внешних сил. Обобщенные деформации следующим образом выражаются через элементы вектора обобщенных перемещений {u_k} и размеры кницы:

Работа внутренних сил в шарнирах текучести определяется на основании соотношений разд. “Методы расчета прочности конструкций ледовых усилений при глубоком пластическомМетоды расчета прочности конструкций из жесткопластического материала в геометрически нелинейной постановке“.

Шарнир 1 является изгибно-продольно-сдвиговым шарниром с постоянным укорочением срединной поверхности и согласно (Описание работы материала в шарнирах текучестиФормула 78):

где:

• $\psi =\frac{1}{2}\left(A_1–A_2+{\overline{G}}^2\left(Arsh\left(\frac{{\alpha }_1}{\overline{G}}\right)–Arsh\left(\frac{{\alpha }_2}{\overline{G}}\right)\right)\right);$
• $A_1={\alpha }_1\sqrt{{\overline{G}}^2+{\alpha }_1^2};$
• $A_2={\alpha }_2\sqrt{{\overline{G}}^2+{\alpha }_2^2};$
• ${\alpha }_1=0,5+{\overline{S}}_1;$
• ${\alpha }_2=–0,5+{\overline{S}}_1;$
• ${\overline{w}}_{max}=\frac{w_m}{t_k};$
• $\overline{G}=\frac{G_1}{2{\theta }_1{t}_k}=\frac{1}{4}\frac{G_1}{w_{max}}\frac{c}{t_k};$
• ${\overline{S}}_1=\frac{S_1}{t_k}\le 0,5.$

Шарнир 2 относится к типу изгибно-продольных шарниров с постоянным укорочением срединной поверхности и для него согласно (Описание работы материала в шарнирах текучестиФормула 77):

Полная работа внутренних сил

Работа внешних сил q_т и q_σ:

где:

• ${\overline{q}}_0=\frac{q_0}{{\sigma }_{\tau }{t}_k}.$

Разрешающая система уравнений кинематического метода (Учет геометрически нелинейных факторов при описании запредельного деформирования конструкцийФормула 50)-(Учет геометрически нелинейных факторов при описании запредельного деформирования конструкцийКФормула 56) в рассматриваемой задаче примет вид

Система (Формула 48), описывающая запредельное деформирование кницы, является системой четырех нелинейных алгебраических уравнений относительно параметров

. После выполнения процедур дифференцирования и алгебраических преобразований система (Формула 48) приведена к следующему виду:

Решение нелинейной системы (Формула 49) осуществляется численно. Без-размерная нагрузка q₀ используется в качестве независимого параметра. Из последнего определяется зависимость G (q₀), а затем с помощью соотношений остальные обобщенные перемещения: S₁ (q₀),  S₂ (q₀) и w_max (q₀). Результаты определения перечисленных функций, описывающих запредельное деформирование кницы, на основании изложенной процедуры представлены на рис. 12. Анализ численного решения показывает, что при q₀ → 0,516, w_max → 0, G → ∞. Значение q_0* = 0,516 следует рассматривать в качестве предельной нагрузки кницы.

При наличии у кницы подкрепляющего пояска пластический механизм дополняется изгибным пластическим шарниром посередине длины пояска (в точке N). Учет данного обстоятельства приводит к появлению дополнительного члена в выражении для w_max в (Формала 49) и оно приобретает вид

где:

• $\overline{d}=\frac{d}{t_k}; {\overline{t}}_{п}=\frac{\sqrt{2}{t}_{п}}{c}; d, t_{п}$

   – высота и толщина подкрепляющего пояска.

Основной практический интерес для дальнейших оценок представляет зависимость нагрузка – Конструкция судовых перекрытийпрогиб кницы (q₀ (w_max). Результаты численного определения данной зависимости при вариации размеров подкрепляющего пояска представлены на рис. 13. Они показывают, что поясок не оказывает влияния на предельное состояние кницы (при w_max = 0) однако заметно повышает прочность кницы при запредельном деформировании, значительно замедляя сброс нагрузки в процессе ее выпучивания.

Близкие к описанным результаты получены В.А. Кулешом, рассмотревшим задачу о закритическом поведении книц в несколько иной постановке. Выполненные В.А. Кулешом эксперименты подтвердили достоверность обоих полученных решений.

В заключение дадим физическую трактовку полученных функций q₀ (w_max). Если в качестве w_max рассматривать относительный остаточный прогиб, образовавшийся в результате выпучивания кницы, то величина q₀ (w_max) соответствует относительной нагрузке, которую поврежденная кница способна воспринять со стороны балочной конструкции.

Предельная прочность балочных конструкций с кничными соединениями

Кничные соединения наиболее часто используются в конструкциях обыкновенных и рамных шпангоутов. Поэтому анализ предельной прочности системы балка – кничное соединение выполняется применительно к шпангоутной ветви.

Пусть шпангоут пересекает две соседние опорные конструкции, расположенные на расстоянии l друг от друга. Ледовая нагрузка в виде сосредоточенной силы P в соответствии с обоснованиями разд. “Методология проектирования конструкций ледовых усилений по критерию предельной прочностиПроектирование балок основного набора и балочных систем (бортовых перекрытий)” приложена симметрично относительно опорных сечений. Согласно решению п. “Обобщённый метод гибкого проектирования сложных бортовых перекрытийОценка предельной прочности и проектирование балок 1-го уровня (обыкновенных шпангоутов)” предельная нагрузка шпангоута составит

где:

• M₀, N₀ – предельные изгибающий момент и перерезывающая сила поперечного сечения шпангоута.

Если считать, что в опорных сечениях шпангоута установлены кницы с катетом с и переход в предельное состояние происходит на длине пролета между концами книц l = l_k – 2с, то предельная нагрузка

Коэффициент

характеризует повышение предельной прочности шпангоута за счет установки книц. График зависимости η (l) (l = l/h) параметр жесткости шпангоута, h – высота поперечного сечения), представленный на рис. 14 (при характерных размерах шпангоутной ветви), демонстрирует, что существенное, до 15-25 %, увеличение предельной прочности наблюдается у шпангоутов с относительно невысокой жесткостью (l = 10 ÷ 15), а с увеличением жесткости (l < 10) этот эффект уменьшается и при l < 5 полностью нивелируется. Данный вывод свидетельствует о необходимости использования дифференцированного подхода к оценке роли кничных соединений.

Теперь, в соответствии с изложенным в п. “Особенности работы кничных соединений и постановка задачи” подходом, отбросим кницы и заменим их действием нормальной и касательной нагрузок

равномерно распределенных на длине катетов с. Касательная нагрузка, приложенная к свободному пояску шпангоута, статически эквивалентна продольному усилию

приложенному к центру тяжести сечения, и сосредоточенному изгибающему моменту

где:

• g – отстояние центра тяжести поперечного сечения от свободного пояска.

Оценка показывает, что величина T_т, составляющая около 5 % от предельной продольной силы поперечного сечения, не оказывает заметного влияния на предельное состояние шпангоута и может не учитываться в дальнейшем анализе.

Тогда Справочные показатели для проектирования судового мидель-шпангоута. Приложениерасчетная схема шпангоутной ветви с отброшенными кницами примет вид, представленный на рис. 15. Пусть P_ш – предельная нагрузка шпангоутной ветви с отброшенными кницами (см. рис. 15). Очевидно, что P_ш ≤ P_к.

Обозначим:

• q₀ – уровень нагрузки, передаваемой кницей на шпангоут, при котором его предельная прочность остается на уровне схемы обрушения по концам книц, т. е. P_ш = P_к.

Если передаваемая кницей на шпангоут нагрузка

 то предельная нагрузка шпангоутной ветви P_ш < P_к следовательно, прочность кницы недостаточна. В противном случае, при

, кница имеет избыточную прочность, так как все равно P_ш = P_к. Для определения

необходимо составить уравнение предельного равновесия шпангоутной ветви на полной длине пролета 1 и положить в нем

В результате выполнения данной процедуры получим следующее решение

где:

• $E=\frac{2\sqrt{3}{\overline{P}}_k–BD}{B^2+3};$
• $B=\overline{c}\overline{l}\left(\frac{0,5\overline{c}\overline{l}+1}{\gamma +0,5}–{\overline{f}}_c\right);$
• $D=1–\frac{2{\overline{P}}_k}{\xi };$
• $\beta =\frac{t_k}{t_c};$
• $\gamma =\frac{f_1}{f_c};$
• ${\overline{f}}_c=\frac{f_c}{F};$
• $t_c,f_c$

  – толщина и площадь стенки;

• f₁ – площадь свободного пояска;
• F – Конструкция поперечных и продольных переборокплощадь поперечного сечения.

Для практических оценок для нагрузки q₀ получено аппроксимационное соотношение (рис. 16)

Учитывая, что, как правило, β ≈ 1, можно заключить, что величина

 не превышает значений (см. рис. 16)

Обратимся теперь к полученным в п. “Предельное состояние и запредельное деформирование изолированной кницы” зависимостям q₀ (w_max). Из равенства

может быть найдена величина остаточного прогиба

при котором выполняется условие (Формула 52), т. е. предельная прочность шпангоутной ветви с деформированными кницами остается на уровне предельной прочности шпангоута при его обрушении по концам книц

. При

имеет место снижение предельной нагрузки шпангутной ветви с кницами

. Поэтому величина

 может рассматриваться как допустимый остаточный прогиб кницы. Согласно данным рис. 13, значениям

 (Формула 60) соответствуют величины допустимых прогибов

При увеличении жесткости шпангоутов величина

увеличивается и при

. Это означает, что условие (Формула 57)

 выполняется, установка книц не оказывает влияния на запасы предельной прочности шпангоута, а их повреждения не влияют на эксплуатационные качества шпангоутной ветви.

 
Для практических оценок может использоваться следующая аппроксимационная зависимость для допустимого прогиба (см. рис. 13):

Действующий нормативный документ Регистра по определению технического состояния конструкций не содержит количественных требований для оценки допустимого прогиба деформированных книц и предлагает принимать решение на основании опыта надзора. Соотношение (Формула 63) позволяет заполнить данный методический пробел.

Подходы к рациональному проектированию и оценке технического состояния балочных конструкций с кничным и соединениями

Полученные результаты позволяют сформулировать следующие выводы в отношении подходов к рациональному проектированию и оценке технического состояния балочных конструкций с кничными соединениями в опорных сечениях.

Кницы в опорных сечениях балочных конструкций следует рассматривать как сминающиеся элементы, предохраняющие образующие узел связи от повреждений при воздействии экстремальных нагрузок и способствующие повышению уровня их предельной прочности.

У шпангоутной ветви с неповрежденными кницами даже при наличии технологических погибей

 заведомо выполняются условия

Это означает, что при проектировании балочных конструкций с кничными соединениями расчетную длину пролета следует назначать как расстояние между сечениями у концов книц.

У балок с относительно низким уровнем жесткости

 в зависимости от наличия у книц подкрепляющего пояска и его размеров уровень допускаемых прогибов составляет

. Если прогибы выпучивания кницы превышают указанный уровень, то существует опасность снижения предельной прочности балки на 15 ÷ 20 %. Поэтому в данном случае целесообразно выполнение конструктивных мероприятий по подкреплению поврежденных книц.

У относительно жестких балок

 влияние книц на уровень предельной прочности проявляется относительно слабо, а при l < 5 полностью нивелируется. Поэтому в этом случае подкрепление кничных соединений необходимо только в случае наличия в узле соединения трещин и разрывов. Кницы, имеющие прогибы выпучивания, превышающие допустимые

, подлежат ремонту (подкреплению или замене). При выполнении ремонта следует учитывать, что значительное увеличение прочности подкрепляемой или заменяемой кницы нецелесообразно, поскольку может в будущем привести к повреждению (подмятию) Листовые конструкции корпуса суднастенки балки в районе узла соединения и, как следствие, заметному снижению предельной прочности шпангоутной ветви в целом.

Оптимальное проектирование балочных конструкций

Разработанный в статье “Методология проектирования конструкций ледовых усилений по критерию предельной прочностиПроектирование балок основного набора и балочных систем (бортовых перекрытий)” метод гибкого проектирования балочных систем (перекрытий) включает процедуру варьирования соотношения фактической и требуемой площадей стенок, позволяющую изменять величину требуемого предельного момента сопротивления. Данная процедура обеспечивает потенциальную возможность получения оптимальных проектных решений. Вместе с тем алгоритм определения размеров поперечного сечения балки становится неоднозначным. Представленные в настоящем разделе дополнительные требования к предельной прочности и устойчивости элементов поперечных сечений, часть которых носит нелинейный характер, а также наличие дополнительных конструктивно-технологических ограничений, накладываемых на размеры профиля, способствуют дальнейшему усложнению алгоритма проектирования.

Изложенные соображения определяют целесообразность разработки метода и программы оптимального проектирования балочных конструкций ледовых усилений, развивающих существующие в этой области разработки, ориентированные на анализ деформирования конструкций в упругой области.

Система расчетных требований и конструктивно-технологических ограничений

В соответствии с подходом будем полагать, что геометрия перекрытия, характеристики материала σ_т, толщина наружной обшивки S_{н. о} и площадь присоединенного пояска f₂ являются общепроектными параметрами, не подлежащими оптимизации по условиям обеспечения предельной прочности перекрытия. Тогда вопрос оптимизации размеров поперечного сечения для каждого из типов входящих в перекрытие балок может рассматриваться изолированно.

Введем, как и ранее (см. п. “Основные положения”**), индекс типа балки i и вектора размеров поперечного сечения

. Элементы векторов e₁ являются параметрами оптимизации размеров поперечного усечения (далее индекс i используется только при наличии различий в расчетных требованиях у балок разных типов).

 
Подстановка элементов вектора е в расчетные требования к геометрическим характеристикам поперечных сечений балок перекрытия (Формула 14), (Формула 20), (Формула 49), полученные в формулах 3-5, приводит к следующим соотношениям:

где:

• $\phi \left(SAf\right)=1+\sqrt{1–{(S{A}_0^c/S{A}_f)}^2};$
• $S{A}_f,P{M}_f$

  – фактические площадь стенки и прельный момент сопротивления;

• $S{A}_f=(h+\delta +S_{н.о})t;$
• $P{M}_f=h(c\delta +0,5ht–\psi );$
• ψ – согласно п. “Корректировка и экспериментальная проверка модели деформирования пластины судов ледового плаванияРабота материала в пластических шарнирах“;
• $S{A}_0^c,P{M}_0^c$

  – функции, зависящие от расчетной нагрузки, размеров перекрытия и материала.

Требования к устойчивости стенки (Формула 10) и предельной прочности стенки при изгибе и смятии (Формула 37) приводят к следующему соотношению:

где:

• $R_c\left(e\right)=max\left(R_{с.у}\right(e),R_{с.пр}(e\left)\right);$
• $Rс.у\left(e\right)$

  – функция, определенная в (Формула 10);

• $R_{с.пр}$

  – функция параметров ледовой нагрузки, размеров перекрытия и материала, определенная в (Формула 37).

Требование к устойчивости свободного пояска (Формула 11) дает

Требования к устойчивости плоской формы изгиба (Формула 7) и предельной прочности при заваливании профиля (Формула 26) записываются в виде

где:

• $R\left(e\right)=max\left(R_{у}\right(e),R_{пр}(e\left)\right);$
• $R_{у}\left(e\right)$

  – функция, определенная в (Формула 7);

• $R_{пр1}\left(e\right)=0,88\sqrt{\frac{t_1{h}_1}{{\delta }_1}{\left(\frac{l}{4h_1}\right)}^2–1,83;}{R}_{пр2}=R_{пр3}=0.$

Дополнительно к расчетным требованиям к ледовой прочности на элементы вектора е налагается система конструктивнотехнологических ограничений, которые в общем виде могут быть представлены следующим образом:

На практике система ограничений (Формула 70) может быть упрощена и, согласно опыту автора, сведена к следующим требованиям:

Таким образом, сформирована система расчетных требований (Формула 65-69) и конструктивно-технологических ограничений (Формула 71), (Формула 72), накладываемых на элементы вектора размеров поперечного сечения балочных конструкций ледовых усилений:

Алгоритм оптимального проектирования

Сформулируем задачу оптимизации размеров поперечного сечения, рассматривая ее как конечномерную экстремальную задачу с ограничениями типа неравенств:

где:

• F₀ (е) — функция цели, в качестве которой обычно рассматривается Общие вопросы проектирования судовых конструкцийминимизация веса балочных конструкций, при этом F₀ (е) = ht + cδ, хотя в принципе возможны и другие задачи оптимизации, например, минимизация высоты сечения, тогда F₀ (е) = h.

Используем принцип Лагранжа для исследования задач с ограничениями. Функция Лагранжа запишется:

где:

• $\lambda ={({\lambda }_0,...,{\lambda }_7)}^T$

  – вектор множителей Лагранжа.

Разрешающая система уравнений, отражающая условия стационарности функции Лагранжа в критической точке и дополняющей нежесткости, примет вид

Анализ показал, что вырожденный случай λ₀ = 0 в рассматриваемой задаче не реализуется, т. е. следуя принципу Лагранжа можно положить λ₀ = 1.

Тогда разрешающая система (Формула 76) дает 11 уравнений относительно неизвестных множителей Лагранжа (λ₀,…, λ₇)^T и параметров конфигурации профиля e = (h, t, c, δ)^T. Учитывая, что часть уравнений (Формула 76) нелинейна, целесообразно исследовать возможности понижения размерности системы. Обратимся к условию

и рассмотрим варианты

При

 как показал анализ, решение системы дает

, что противоречит последнему неравенству сформулированной задачи (Формула 74). Это означает отсутствие критических точек функции Лагранжа в области положительных значений параметров с и δ при

 или, физически, что требованиям предельной прочности отвечает оптимальный по массе профиль без свободного пояска. Поэтому минимальная величина произведения сδ регламентируется только условиями устойчивости плоской формы и предельной прочности при заваливании (Формула 69), а условие (Формула 77) дает

Последнее равенство в совокупности с условиями дополняющей нежесткости

 устанавливают два возможных варианта, однозначно регламентирующих величины с и δ:

Из рассмотрения условий

 аналогично предыдущим рассуждениям также выделяются два варианта:

Наконец, из условия

следует, что при

 реализуется частный случай

. Поэтому при отыскании решения, соответствующего критической точке, из выражения (Формула 81) получим варианты:

Изложенное позволяет утверждать, что вектор множителей Лагранжа содержит одновременно не менее трех нулевых элементов, причем

 а оставшиеся четыре условия дополняющей нежесткости при ненулевых λ_j образуют систему нелинейных уравнений относительно четырех параметров конфигурации профиля, образующих вектор e.

 
Читайте также: Малотоннажные стальные суда

Анализ соотношений (Формула 78, 79, 80, 82) позволяет установигь, что поиск критической точки функции Лагранжа, обеспечивающей минимум целевой функции, связан с исследованием восьми вариантов систем разрушающих уравнений. Каждый вариант содержит нелинейное уравнение

Далее, к соотношению (Формула 83) следует добавить одно из уравнений (Формула 82), регламентирующих требования к предельной прочности, т.е.

Последние два уравнения разрешающих систем формируются на основании условий дополняющей нежесткости, накладываемых непосредственно на элементы вектора е. Последовательность рассмотрения вариантов систем, идентичную в рамках каждой группы, целесообразно строить по принципу усиления ограничений, т. е. перехода от ограничений по минимальным размерам к ограничениям максимальных соотношений. В итоге может быть предложен следующий алгоритм:

1)Решается система, образуемая условиями

которая дает абсолютный минимум массы профиля при условии, что выполнены ограничения

2)При нарушении ограничения (Формула 86) формируется разрешающая система

 
3)При нарушении ограничения (Формула 87) формируется разрешающая система

 
4)При нарушении ограничений (Формула 86, 87) при решении системы (Формула 85) или одного из них при решении систем (Формула 88, 89) формируется система

• дающая

  $t>t_{min},\delta >t$

  .

Принадлежность каждой из приведенных систем к группе λ₁ = 0 или λ₂ = 0 определяется на основании выражения (Формула 84).

После определения элементов вектора е необходимо убедиться в существовании решения для оставшихся четырех ненулевых значений λ и выполнении условий их неотрицательности. Эта тривиальная процедура осуществляется на основании рассмотрения системы четырех линейных относительно ненулевых λ_j уравнений, задаваемых условиями стационарности функции Лагранжа согласно первому соотношению общей системы (Формула 76). Очевидно, что ее выполнение не имеет практического значения, так как элементы е уже вычислены, и носит проверочный характер.

На основании изложенного решения разработано соответствующее Системное программное обеспечение на судахпрограммное обеспечение, позволяющее выполнять оптимизацию размеров поперечных сечении балок бортовых перекрытий судов ледового плавания при альтернативных видах целевой функции. Выполненные при его помощи массовые расчеты, показали, что применение оптимизационных процедур позволяет в среднем на 10 % улучшить описываемые целевой функцией габаритные характеристики или характеристики по массе поперечных сечений по сравнению с подходами к определению размеров сечений, базирующимися на инженерной интуиции проектировщика.

Пример оптимизации размеров поперечного сечения шпангоута по весу при вариации его относительной длины пролета

 представлен на рис. 17. Согласно данным рис. 17, для относительно жестких балок

, типичных для конструкций ледовых усилений, оптимальным является профиль, у которого

(отсутствует запас по площади стенки), стенка относительно низкая, а поясок относительной узкий (

 минимальны), площадь пояска значительно меньше площади стенки.

Такая конфигурация профиля, напоминающая приземистый белый гриб, физически полностью оправдана и обеспечивает высокую надежность при восприятии интенсивных локальных ледовых нагрузок. При снижении жесткости балки

, практически наблюдаемом при понижении ледовой категории судна, имеют место следующие тенденции: образуется значительный запас по площади стенки

, у стенки и пояска увеличиваются относительные высоты и ширина (

 возрастают), площадь пояска увеличивается по сравнению с площадью стенки (возрастает параметр

). Это означает, что влияниечисто ледовых факторов нивелируется, а главной задачей становится удовлетворение условия по требуемому моменту сопротивления. Конфигурация профиля начинает напоминать гриб на тонкой ножке с широкой шляпкой (мухомор), что, в целом, типично для Конструкция носовой и кормовой оконечностей суднаконструкций морских (не ледовых) судов.

 
Изложенные соображения подтверждают эффективность и физическую обоснованность разработанной системы расчетных требовании и полученного решения об оптимальном проектировании балочных конструкций ледовых усилений.

Требования к предельной прочности наружной обшивки

Существующие требования и усовершенствованная модель локально загруженной пластины

Существовавшие Правила Регистра базировались на весьма условном подходе к оценке прочности наружной обшивки, основанном на традиционной модели балки-полоски, приводящей к следующему соотношению для требуемой толщины

где:

• а – расстояние между соседними балками основного набора, м;
• p^рег – расчетное давление, МПа.

Главным недостатком соотношения (Формула 91) является игнорирование локального характера ледовой нагрузки. В связи с этим требуемая толщина оказывается не зависящей от высоты распределения расчетной нагрузки b. Поскольку в рамках общего подхода величина расчетной ледовой нагрузки характеризуется двумя однозначно связанными парамеграми – интенсивностью р и высотой распределения b, то указанный недостаток расчетной модели весьма неблагоприятно сказывался на всей методологии нормирования ледовой прочности и конкретно проявлялся в необходимости задания в Правилах ледовых нагрузок отдельно на набор бортовых перекрытий (где влияние параметра b учтено) и наружную обшивку.

К сожалению, данный условный подход был сохранен и в упоминавшемся проекте Норм ледовой прочности. В результате при их разработке пришлось использовать дополнительные условные приемы для согласования требований с существующей практикой: в формулу для требуемой толщины искусственно была введена функция, зависящая от водоизмещения судна ледового плавания или мощности ледокола.

Учитывая изложенное, возможности совершенствования требований к наружной обшивке связаны не только с переходом на критерий предельной прочности, но и с использованием уточненной расчетной модели, учитывающей фактор локальности ледовой нагрузки.

Уточненная расчетная модель локально загруженной пластины с конечным соотношением сторон обоснована в разд. “Методы расчета прочности конструкций ледовых усилений при глубоком пластическом деформированииДеформирование локально загруженной пластины наружной обшивки при образовании бухтины” (см. рис. 2.3.1, б). В полученном в разд. “Методы расчета прочности конструкций ледовых усилений при глубоком пластическом деформированииДеформирование локально загруженной пластины наружной обшивки при образовании бухтины” решении об упругопластическом и запредельном деформировании пластины в качестве частного случая представлена система уравнений (Формула 106), описывающая ее предельное состояние.

После выполнения процедур дифференцирования данная система может быть преобразована к следующему виду: